Question

Segunda derivada de raiz quadrada de x ao quadrado menos um.

Answer 1

Propriedades e regras utilizadas:

Regra da cadeia:
f(g(x)) = f(g(x))'×g(x)'


Propriedade do quociente:

u/v = (u'v - uv')/v²


Regra 1

xⁿ = n·x^(n–1)



↑ Segunda derivada ↑

Answer 2

A segunda derivada da função $f(x)=y=\sqrt{x^2-1}$ é $f''(x)=y''=-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1)} }$

Derivada de uma função

A derivada de uma função matemática é a taxa ou taxa de variação de uma função em um determinado ponto. Ou seja, quão rápido uma variação está ocorrendo. Derivativos têm algumas propriedades especiais que são importantes para estudar antes de ir direto ao tópico. Uma vez que essas propriedades resolvem problemas de uma maneira melhor e mais conveniente, com uma melhor abordagem do assunto. É indicado da seguinte forma:

                                                $f'(x)=y'=\frac{dy}{dx}$

E a segunda derivada assim:

                                                $f''(x)=y''=\frac{dy''}{dx}$

Para este exercício, as seguintes propriedades devem ser consideradas:

• A derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções tomadas individualmente. A mesma regra também se aplica à subtração de duas derivadas. Esta regra é mais conhecida pelo nome de regra de linearidade.
• A derivada da multiplicação de duas funções é o mesmo que somar a multiplicação da primeira função com a derivada da segunda função e a multiplicação da segunda função com a derivada da primeira função. Essa regra é mais comumente conhecida como regra do produto.
• A derivada de uma variável elevada a uma potência é igual a vezes a potência da derivada da mesma variável elevada a uma potência reduzida de um.
• A derivada da divisão de uma função com alguma outra função é a mesma que a divisão da subtração da multiplicação da primeira função pela derivada da segunda função e a multiplicação da segunda função pela derivada da primeira função com o quadrado da segunda função. Aqui o valor da função não deve ser igual a zero. Esta regra é conhecida pelo nome de regra do quociente.

Resolvendo a primeira derivada:

$f(x)=y=\sqrt{x^2-1}=(x^2-1)^{\frac{1}{2} }\\\\y'=\frac{1}{2} (x^2-1)^{-\frac{1}{2} }*2x\\\\y'=x(x^2-1)^{-\frac{1}{2} }$

Resolvendo a segunda derivada:

$y''=\frac{x}{(x^2-1)^{\frac{1}{2} }}$

$y''=\frac{1(x^2-1)^{\frac{1}{2}-x(\frac{1}{2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}*2x )}}{((x^2-1)^\frac{1}{2})^2 }$

$y''=\frac{(x^2-1)^{\frac{1}{2} }-x^2(x^2-1)^{-\frac{1}{2} }}{(x^2-1)}$

$y''=\frac{\frac{(x^2-1)^{1/2(x^2-1)^{1/2}}-x^2}{(x^2-1)^{1/2}} }{(x^2-1)}$

$y''=\frac{\frac{x^2-1-x^2}{(x^2-1)^{1/2}} }{(x^2-1)}$

$y''=-\frac{1}{(x^2-1)(x^2-1)^{1/2}}$

$y''=-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1} }}$

Se você quiser ler mais sobre as derivadas de uma função, você pode ver este link:

https://brainly.com.br/tarefa/24083556

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