Question

Se x1 > 0, então

x1 + x2 +. + xn ≤ (1/3) ⇒ (1-x1)(1-x2). (1-xn) ≥ (2/3)

Demonstre usando indução

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Base de indução: verifiquemos que vale para $n=1$, assim,

se $x_1 \leqslant \frac{1}{3} \Rightarrow -x_{1}\geqslant -\frac{1}{3} \Rightarrow 1-x_{1}\geqslant \frac{2}{3}$

Hipótese de indução: suponhamos, agora, que valha para $n = k$, isto é,

$x_1 + x_2 + \cdots + x_k \leqslant \frac{1}{3} \Rightarrow (1-x_1)(1-x_2)\cdots(1-x_k) \geqslant \frac{2}{3}$ e queremos mostrar que vale para $n = k + 1$. De fato,

$x_1 + x_2 + \cdots + x_k + x_{k+1} \leqslant \frac{1}{3} + x_{k+1} \Rightarrow (1-x_1)(1-x_2)\cdots(1-x_k)(1-x_{k+1}) \geqslant (1-x_1)(1-x_2)\cdots(1-x_k) \geqslant \frac{2}{3}\\\hfill \qed$