Question

se x+y+z=0,mostre que x^3+y^3+z^3=3xyz

Answer 1

Devemos mostrar que:

${x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} = 3xyz$

ou seja que:

${x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - 3xyz = 0$


Sabemos que:


${x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - 3xyz = ( x + y + z)( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - xy - xz - yz)$


Se

$x + y + z = 0$

então


${x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - 3xyz = ( 0)( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - xy - xz - yz) \\ {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - 3xyz =0$

isto é,

${x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} = 3xyz$

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