Question

se x+y = 15 e x.y = 20, então x² - y² é:

Answer 1

A questão trata de manipulação algébrica e conhecimento acerca de produtos notáveis. Antes de tudo vamos relembrar os 3 produtos notáveis mais importantes para a resolução

$i)\, (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ (quadrado da soma)

$ii)\, (x-y)^2 = x^2 - 2xy+y^2$ (quadrado da diferença)

$iii)\, (x+y)(x-y)=x^2-y^2$ (diferença de quadrados)

Perceba que queremos obter o valor introduzido na diferença de quadrados (iii), possuímos o valor de (x+y), mas não o de (x-y). Deste modo, temos que encontrar um modo de encontrar (x-y) antes com o que temos. Perceba que o quadrado da soma (i) e da diferença (ii) são muito parecidos, pois ambas têm os termos x² + y² em comum, como não possuímos o conhecimento destes termos podemos subtrair um do outro, obtendo apenas dependência de xy, que possuímos

$(x+y)^2-(x-y)^2 = x^2+2xy+y^2 - (x^2-2xy+y^2) = 4xy$

$15^2 - (x-y)^2 = 4\cdot 20$

$(x-y)^2 = 225-80 = 145$

$(x-y) = \sqrt{145}$

Assim, com o valor de (x-y) em mãos, podemos obter x² - y² por iii)

$x^2-y^2 = (x+y)(x-y) = 15\cdot\sqrt{145}$

$x^2-y^2 \approx 180.62$

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