Question

se x+y=12 e xy=4......

Answer 1

Resposta:

Do enunciado temos que

$\displaystyle\left \{ {{x+y=12} \atop {xy=4}} \right.$

E queremos $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$, tirando o mmc(que é xy) entre as frações e somando temos que

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$

Note que $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$, pois

$(x+y)^2-2xy=x^2+2xy+y^2-2xy=x^2+y^2$

Substituindo então essa relação temos

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{(\overbrace{x+y}^{12})^2-2\overbrace{xy}^{4}}{\underbrace{xy}_{4}}=\dfrac{12^2-2\cdot4}{4}=\dfrac{144-8}{4}=\dfrac{136}{4}=34\\\\\\\Rightarrow \boxed{\boxed{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=34}}$