Question

se x for um número real positivo e se valer a igualdade de 1+x+x²+x³+...=3, entao o valor de x será

Answer 1

Olá,

De início já vemos que é uma série geométrica, isto é, a soma de infinitos termos que vão sendo multiplicados por um valor constante a cada termo que passa.

$1+x+x^2+x^3+...=3$

Escrevendo melhor para mostrar que temos uma séries

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=3$

Podemos usar então a fórmula conhecida no ensino médio como "Soma dos termos de uma PG infinita"

$S_n=\frac{a_1}{(1-q)}$

Onde os termos seriam $\{a_1,a_2,a_3,a_4,...\}=\{1,x,x^2,x^3,...\}$, então percebemos que a cada termo temos a multiplicação de x

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Desta forma

$a_n=x^{n-1}$

Pode conferir pra ver se não é isso mesmo.

Agora fazendo a soma pela fórmula

$S_n=\frac{a_1}{(1-q)}$

Onde: $\begin{Bmatrix}S_n=3\\a_1=1\\q=x\end{matrix}$

Substituindo

$3=\frac{1}{(1-x)}$

$3\cdot(1-x)=1$

$3-3x=1$

$\boxed{\boxed{x=\frac{2}{3}}}$

Espero que tenha gostado da resolução.

Answer 2

Resposta:

É uma PG

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

a1=1

q=x

1*(1-x^n)/(1-x)= 3

(1-x^n)/(1-x) = 3

para n infinito

Lim (1-x^n)/(1-x) =3       ==>x^(n)=0

n-->∞

1/(1-x)=3

1/3=1-x

-2/3=-x

x=2/3 é a resposta