Question

se x e y são números reais tais que {3^(2x+1) = 1
{3(x - 2y) = 1/9
Então qual o valor de x- y?

Answer 1

Resolver o seguinte sistema de equações exponenciais:

$\large\begin{array}{l}\begin{Bmatrix}\mathsf{3^{2x+1}=1}\\\\\mathsf{3^{x-2y}=\frac{1}{9}}\end.\end{array}$


Primeiro vamos resolver a primeira equação, aplicando log_{3} em ambos os lados da igualdade.


$\large\begin{array}{l}\mathsf{\ell og_3(3^{2x+1})=\ell og_3(1)}\\\\\mathsf{(2x+1)\cdot\ell og_3(3)=0}\\\\\mathsf{(2x+1)\cdot1=0}\\\\\mathsf{2x+1=0}\\\\\mathsf{2x=-1}\\\\\fbox{ \mathsf{x=-\frac{1}{2}} }\end{array}$


Para resolver a segunda equação (encontrar y) vamos substituir o valor de x e desenvolver


$\large\begin{array}{l}\mathsf{3^{x-2y}=\frac{1}{9}}\\\\\mathsf{3^{-\frac{1}{2}-2y}=\frac{1}{9}}\\\\\mathsf{3^{-\frac{4y+1}{2}}=3^{-2}}\end{array}$


O que temos agora é uma igualdade entre potências de mesma base, podemos igualar seus expoentes, isto é:


a^{b} = a^{c} ⇔ b = c 


$\large\begin{array}{l}\mathsf{3^{-\frac{4y+1}{2}}=3^{-2}~\Leftrightarrow~-\frac{4y+1}{2}=-2}\\\\\mathsf{4y+1=4}\\\\\mathsf{4y=3}\\\\\fbox{ \mathsf{y=\frac{3}{4}} }\end{array}$


Agora vamos realizar a operação x - y


$\large\begin{array}{l}\fbox{ \mathsf{x-y~\leftrightarrow~-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}~\leftrightarrow~-\frac{2}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}} }\\\\\mathsf{\therefore~x-y=-\frac{5}{4}}\end{array}$