Question

Se x e y são números inteiros, 1 < x < y < 12, determine o menor valor que x + y dividido por xy pode assumir.

Answer 1

x = 10 y = 11 x+y= 21 xy= 110 (x+y)/(xy)=0,190909

Answer 2

Dados dois números inteiros (positivos) $x$ e $y,$

com $1<x<y<12$

queremos encontrar o par $(x,\,y)$ que minimize a fração $f(x,\,y)=\dfrac{x+y}{xy}.$

Podemos decompor a fração, ficando com

$f(x,\,y)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
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Temos uma soma de frações com numerador $1,$ e denominadores positivos. O que sabemos a respeito deste tipo de fração?

$\bullet~~$ Quanto maior o denominador, menor será o valor da fração.

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Para minimizar a soma, basta que minimizemos cada uma das parcelas. Então, devemos escolher $x$ e $y$ de forma que cada uma das frações tenha o menor valor possível.

O maior valor possível para $x$ é $x=10,$ restando apenas uma possibilidade para $y,$ que é $y=11.$


Logo, escolhendo o par $(10,\,11),$ obtemos

$f(10,\,11)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}\\\\\\ f(10,\,11)=\dfrac{10+11}{10\cdot 11}\\\\\\ f(10,\,11)=\dfrac{21}{110}$

e este de fato é o menor valor possível que a fração pode assumir.