Question

Se x é um ângulo que está no segundo quadrante e tg(x) = -2 raiz quadrada 2, então seno e cosseno de x são:

Answer 1

Se  x  é um ângulo que está no segundo quadrante, e  tg x = − 2√2,  encontre os valores de  sen x  e  cos x.


Solução:

Vamos aplicar a definição de tangente:

     $\mathsf{tg\,x=-\,2\sqrt{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{sen\,x}{cos\,x}=-\,2\sqrt{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=-\,2\sqrt{2}\,cos\,x\qquad (i)}$


Eleve ao quadrado os dois lados da igualdade acima:

     $\mathsf{(sen\,x)^2=(-\,2\sqrt{2}\,cos\,x)^2}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=(-2\sqrt{2})^2\,cos^2\,x}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=2^2\cdot (\sqrt{2})^2\,cos^2\,x}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=4\cdot 2\cdot \,cos^2\,x}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=8\,cos^2\,x}$


Mas pela identidade trigonométrica fundamental, tiramos que  cos² x = 1 − sen² x.  Substituindo acima, obtemos

     $\mathsf{sen^2\,x=8\,(1-sen^2\,x)}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=8-8\,sen^2\,x}\\\\ \mathsf{sen^2\,x+8\,sen^2\,x=8}\\\\ \mathsf{9\,sen^2\,x=8}\\\\ \mathsf{sen^2\,x=\dfrac{8}{9}}$


Tomando as raízes quadradas dos dois lados, temos

     $\mathsf{sen\,x=\pm\,\sqrt{\dfrac{8}{9}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=\pm\,\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=\pm\,\dfrac{\sqrt{2^2\cdot 2}}{\sqrt{3^2}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=\pm\,\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$


Como  x  é um arco do 2º quadrante, o  sen x  é positivo. Portanto,

     $\mathsf{sen\,x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$        ✔


Podemos obter o valor de  cos x  pelo valor da tangente na relação  (i):

     $\mathsf{sen\,x=-\,2\sqrt{2}\,cos\,x}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{sen\,x}{-\,2\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\,2\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \dfrac{1}{-\,2\sqrt{2}}}$

     $\mathsf{cos\,x=-\,\dfrac{1}{3}}$        ✔


Bons estudos! :-)