Question

Se x -1/ x = 3, então:

 

x^2 - 1/ x^3 + x^3 + 1/ x^2 é?

Answer 1

Elevando a equação ao quadrado:

 

$x - \frac{1}{x} = 3 \\\\ \left ( x - \frac{1}{x} \right )^2 = 3^2 \\\\ x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9 \\\\ x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \\\\ \boxed{x^2 + \frac{1}{x^2} = 11}$

 

 

Elevando a equação ao cubo:

 

$x - \frac{1}{x} = 3 \\\\ \left ( x - \frac{1}{x} \right )^3 = 3^3 \\\\ x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - \frac{3x}{1} + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - 3\underbrace{\left (x - \frac{1}{x} \right )}_{3} - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - 3 \cdot 3 - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - \frac{1}{x^3} = 27 + 9 \\\\ \boxed{x^3 - \frac{1}{x^3} = 36}$

 

 

 Por fim, o que se pede:

 

$x^2 - \frac{1}{x^3} + x^3 + \frac{1}{x^2} = \\\\ \left ( x^2 + \frac{1}{x^2} \right ) + \left ( x^3 - \frac{1}{x^3} \right ) = \\\\ 11 + 36 = \\ \boxed{\boxed{47}}$

 

 Espero ter ajudado!