Question

se x + 1/x = 3 , encontre x a quarta potência + 1/x a quarta potência

Answer 1

Se   x + 1/x = 3,  encontre  x⁴ + 1/x⁴.

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Solução:

     $\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=3}$


Eleve os dois lados ao quadrado. Note que no lado esquerdo é o quadrado de uma soma, portanto devemos desenvolver usando produtos notáveis:

     •  (a + b)² = a² + 2ab + b²


Então, ficamos com

     $\mathsf{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{\!2}=3^2}\\\\\\ \mathsf{x^2+2\cdot \diagup\!\!\!\! x\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\!2}=9}\\\\\\ \mathsf{x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=9}\\\\\\ \mathsf{x^2+\dfrac{1}{x^2}=9-2}\\\\\\ \mathsf{x^2+\dfrac{1}{x^2}=7}$


Eleve os dois lados ao quadrado novamente:

     $\mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!2}=7^2}\\\\\\ \mathsf{(x^2)^2+2\cdot \diagup\!\!\!\! x^2\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! x^2}+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!2}=49}\\\\\\ \mathsf{x^4+2+\dfrac{1}{x^4}=49}\\\\\\ \mathsf{x^4+\dfrac{1}{x^4}=49-2}$

     $\mathsf{x^4+\dfrac{1}{x^4}=47\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)