Question

Se V e W são raizes da equação x²+ax+b=0, em que A e B são coeficientes reais, estão v²+w² é igual a:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

V + W = -a/1 = -1 e VW = b/1 = b

(V + W)² = (-a)²

V² + 2VW + W² = a²

V² + 2b + W² = a²

V² + W² = a² - 2b

Answer 2

Vamos utilizar as expressões para a soma e produto das raízes da equação de 2° grau.

Seja x' e x'' as raízes da equação ax²+bx+c = 0, então:

$\boxed{x'+x''~=~-\frac{b}{a}}~~~~~~~~~~\boxed{x'~.~x''~=~\frac{c}{a}}$

Na equação dada, as raízes são V e W e, portanto, temos:

$V+W~=~-\frac{A}{1}\\\\\\\boxed{V+W~=~-A}\\\\\\\\V~.~W~=~\frac{B}{1}\\\\\\\boxed{V~.~W~=~B}$

Precisamos agora encontrar uma forma de determinar "V²+W²".

Podemos fazer isso utilizando produtos notáveis, acompanhe:

$(V+W)^2~=~V^2~+~2.V.W~+~W^2\\\\\\(V+W)^2~=~(V^2~+~W^2)~+~2.V.W\\\\\\\boxed{V^2~+~W^2~=~(V+W)^2~-~2.V.W}\\\\\\Substituindo~os~termos~conhecidos:\\\\\\V^2~+~W^2~=~(-A)^2~-~2.(B)\\\\\\\boxed{V^2~+~W^2~=~A^2~-~2B}$