Question

Se uma gaveta de arquivo contiver 7 processos distintos: 3 referentes à compra de materiais hospitalares e 4 referentes à construção de postos de saúde, então, retirando-se ao acaso, simultaneamente, 3 processos dessa gaveta, a probabilidade de que pelo menos dois desses processos sejam referentes a compra de materiais hospitalares será?

Answer 1

Temos dois eventos que nos interessam:

--> Dos 3 processos retirados, 2 são de Materiais Hospitalares;

--> Dos 3 processos retirados, 3 são de Materiais Hospitalares.

Teremos então que determinar as probabilidades de cada um desses eventos e, posteriormente soma-las.

Note que, embora os processos sejam diferentes, eles são retirados SIMULTANEAMENTE, não sendo importante a ordem de retirada. Isso nos indica que podemos utilizar COMBINAÇÕES.

O numero total de formas que podemos retirar 3 processos dentre os 7 totais é dado por:

$Total~ de ~Agrupamentos=C_{7,3}\\\\Total~ de ~Agrupamentos=\frac{7!}{3!.(7-3)!}\\\\Total~ de ~Agrupamentos=\frac{7~.~6~.~5~.~4!}{6~.~4!}\\\\Total~ de ~Agrupamentos=7~.~5\\\\\boxed{Total~ de ~Agrupamentos=35}$

O numero total de formas que podemos retirar 3 processos sendo 2 de mat. hospitalares e 1 de constr. de postos é dado por:

$Agrupamento~A=C_{3,2}~.~C_{4,1}\\\\Agrupamento~A=\frac{3!}{2!(3-2)!}~.~\frac{4!}{1!(4-1)!}\\\\Agrupamento~A=\frac{6}{2~.~1!}~.~\frac{24}{1~.~3!}\\\\Agrupamento~A=\frac{6}{2}~.~\frac{24}{6}\\\\Agrupamento~A=3~.~4\\\\\boxed{Agrupamento~A=12}$

O numero total de formas que podemos retirar 3 processos sendo 2 de mat. hospitalares e 1 de constr. de postos é dado por:

$Agrupamento~B=C_{3,3}\\\\Agrupamento~B=\frac{3!}{3!.(3-3)!}\\\\Agrupamento~B=\frac{6}{6~.~1}\\\\\boxed{Agrupamento~B=1\\\\}$

Por fim, podemos calcular as probabilidades:

$Prob=\frac{Agrupamento~A}{Total~de~Agrupamentos}~+~\frac{Agrupamento~B}{Total~de~Agrupamentos}\\\\Prob=\frac{12}{35}~+~\frac{1}{35}\\\\\boxed{Prob=\frac{13}{35}}\\\\ou\\\\Prob(\%)=\frac{13}{35}~.~100\%\\\\\boxed{Prob(\%)=37,14\%}$