Question

Se um peixe morde a isca independentemente em um lançamento com probabilidade 0, 1, e o pescador lança a isca 20 vezes na água, calcule:
(a) A probabilidade dele pescar menos que três peixes.
(b) O número esperado de peixes pescados.

Answer 1

A partir da análise de que nossa variável segue a distribuição binomial, temos que a probabilidade de menos que três peixes morderem a isca em 20 lançamentos é de 0.677, e o número esperado de peixes que irão morder a isca nesses lançamentos é de 2 peixes.

Para chegarmos nesse resultado, precisamos calcular a probabilidade a partir da distribuição da nossa variável.

Qual a distribuição da nossa variável?

Variáveis de Bernoulli são variáveis resposta de experimentos que admitem apenas dois tipos de resultados, podendo estes serem classificados como sucesso e fracasso. Quando esses experimentos ocorrem um número $n$ de vezes, tal que $n > 1$, dizemos que essas variáveis possuem distribuição binomial.

Podemos dizer que é o caso da nossa variável. O experimento lançar a isca será repetido $n = 20$ vezes, e seus resultados podem ser classificados como: sucesso (se o peixe morder a isca) e fracasso (se o peixe não morder a isca. Logo, nossa variável segue a distribuição binomial.

A função de probabilidade de uma variável aleatória com distruição binomial e parâmetros (n,p) - onde p é a probabilidade de sucesso, e n o número de repetições do experimento - é dada por:

$p(i) = \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) p^i(1-p)^{(n-i)}$

Como calculamos probabilidades de variáveis com distribuição binomial?

No nosso caso, temos uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso $p = 0.1$ e probabilidade de fracasso $1 - p = 0.9$, sendo número de resultados $n = 20$. Ou seja, aplicando nossos valores na função de probabilidade de uma variável aleatória:

$p(i) = \left( \begin{array}{c} 20 \\ i \end{array} \right) 0.1^i(0.9)^{(20-i)}$

Para lançamentos independentes, temos:

$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

Portanto, calculando cada probabilidade, obtemos:

$P(X=0) = \left( \begin{array}{c} 20 \\ 0 \end{array} \right) 0.1^0(0.9)^{(20-0)}$

$P(X=0) = \frac{20!}{(20 - 0)!0!} *1*(0.9)^{(20)} = \frac{20!}{(20)!0!} *(0.9)^{(20)} \approx 0.1216$

$P(X=1) = \left( \begin{array}{c} 20 \\ 1 \end{array} \right) 0.1^1(0.9)^{(20-1)}$

$P(X=1) = \frac{20!}{(20 - 1)!1!} *0.1*(0.9)^{(19)} = \frac{20!}{(19)!1!} *0.1*(0.9)^{(19 )} \approx 0.2702$

$P(X=2) = \left( \begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array} \right) 0.1^2(0.9)^{(20-2)}$

$P(X=1) = \frac{20!}{(20 - 2)!2!} *0.1^2*(0.9)^{(18)} = \frac{20!}{(18)!2!} *0.01*(0.9)^{(18)} \approx 0.2852$

Por fim, temos que a probabilidade de menos de três peixes morderem a isca em 20 lançamentos é dada por:

$P(X < 3) = 0.1216 + 0.2702 + 0.2852 = 0.677$

Como calculamos o valor esperado de variáveis com distribuição binomial?

O valor esperado de uma variável, também conhecido como média ou esperança, é dado pela fórmula:

$E(X) = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i * P(X=x_i)$

Entretanto, como estamos tratando de uma variável com distribuição binomial, essa fórmula pode ser simplificada para:

$E(X) = n*p$

Portanto, para os valores do nosso problema obtemos:

$E(X) = 20*0.1 = 2$

Ou seja, o número esperado de peixes que morderão a isca em 20 lançamentos é de 2 peixes.

Para saber mais sobre distribuição exponencial, veja: https://brainly.com.br/tarefa/5271335

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