Question

Se Torcelli ultiliza-se água (□=100 kg/m³) ao invés de mércurio em seu famoso experimento, qual seria a altura da coluna de água necessária para de medir a pressão atmosférica ao nível do mar?​

Answer 1

Para responder a questão, primeiro precisamos entender como o experimento funciona.

Na figura em que anexei eu fiz o diagrama do experimento de Torricelli.

O experimento consiste em encher um tubo com cerca de 1 metro de comprimento inteiramente de mercúrio e mergulhá-lo em um recipiente contendo mercúrio.

Se é observado que o mercúrico contido no tubo desce até atingir uma altura, que é a mesma do ponto denominado A, e deixa um vácuo quase perfeito na região vazia.

Um princípio muito importante em hidrostática é o teorema de Stevin que diz que a pressão exercida pelo peso de um fluido varia com a altura da coluna de fluido.

Um exemplo: um mergulho no mar. Quanto mais profundo for o mergulho, maior será a pressão sentida pelo mergulhador. Isso porque quanto mais profundo, mais água haverá acima do mergulhado, aplicando uma força peso maior e consequentemente uma pressão maior.

Pressão é definida como sendo $p=\frac{F}{A}$, onde F é a força exercida e A é a área de contato onde essa força é aplicada. Quanto menor a área, maior a pressão. É por isso que é muito mais fácil se furar com uma agulha do que com um lápis sem ponta, por exemplo.

A força peso é uma força causada pela gravidade. Se um corpo possui massa m, seu peso será $P=mg$ onde g é a aceleração da gravidade local.

O teorema de Stevin depende do peso do fluido. Se a densidade do fluido for $\rho=\frac{m}{v}$, o peso será

$\displaystyle{P=\rho v g}$

onde v é o volume do fluido.

A partir daí, a pressão exercida pelo fluido será

$\displaystyle{p=\frac{P}{A}=\frac{\rho v g}{A}}$

Imagine que haja uma coluna de fluido acima da superfície. O volume dessa coluna será a área de contato multiplicada pela altura. No caso $v=Ah$ onde  h é a altura da coluna.

No final, a expressão matemática para o teorema de Stevin será:

$\displaystyle{\boxed{p=\rho g h}}$

Uma consequência desse teorema é que todos os pontos do fluído no mesmo nível sentirão a mesma pressão.

Na imagem anexada $p_0$ é a pressão atmosférica. A pressão atmosférica é causada pela massa de ar sobre a superfície das coisas presentes no planeta. É como se fosse um mar feito de ar. Quanto mais ar há acima de nós, maior a pressão.

A pressão atmosférica está agindo sobre o mercúrio do recipiente.

Dentro do tubo a própria coluna de mercúrio exerce uma pressão.

A pressão exercida pelo vácuo dentro do tubo é desprezível, sendo para estes fins, nula.

O teorema de Stevin diz que a pressão no mercúrio na altura do ponto B é a mesma.

Como calcular essa pressão? Vamos achar uma expressão matemática para a pressão no ponto B usando o teorema que acabamos de encontrar.

A pressão exercida pela coluna de mercúrio será:

$\displaystyle{p_{\text{mercurio}}=\rho_{mercurio} g h}$

A pressão exercida pela atmosfera é $p_0$. Logo a pressão na altura do ponto B será:

$\displaystyle{p_B=p_{\text{mercurio}}-p_0}$

$\displaystyle{\boxed{p_{B}=\rho_{mercurio} g h-p_0}}$

O sinal de - aparece pois a pressão do mercúrio se opõe a pressão atmosférica.

Agora que nós temos a expressão para a altura do ponto B. Acontece que essa pressão é nula! Isso porque o fluido está em equilíbrio hidrostático.

Finalmente, temos uma expressão para a pressão atmosférica:

$\displaystyle{\boxed{p_{0}=\rho_{mercurio} g h}}$

É fácil ver que ela depende apenas da densidade do fluido e a altura da coluna.

Nós temos o valor experimental para h. Esse valor é de 76 cm ou 760 mm. E é por isso que geralmente escrevemos 760 mmHg (milímetros de mercúrio).

E agora vem a questão do problema: e se usássemos água, qual seria a altura da coluna?

Seja h(água) a altura da coluna de água e h(mercúrio) a altura da coluna de mercúrio.

Se o experimento fosse feito com água, o cálculo seria exatamente o mesmo e chegaríamos na expressão:

$\displaystyle{p_{0}=\rho_{agua} g h_{agua}}$

Essa expressão também nos dá a pressão atmosférica. Podemos igualar à primeira e teremos:

$\displaystyle{p_{0}=\rho_{agua} g h_{agua}=\rho_{mercurio} g h_{mercurio}}$

g é cancelado e ficamos com:

$\displaystyle{\rho_{agua} h_{agua}=\rho_{mercurio} h_{mercurio}}$

$\displaystyle{ \boxed{\frac{\rho_{mercurio}}{\rho_{agua}}=\frac{h_{agua}}{{h_{mercurio}}} }}$

Nós sabemos a densidade do mercúrio que é de 13600 kg/m³, a densidade da água que é de 1000 kg/m³ (há um pequeno erro no enunciado) e sabemos experimentalmente que h(mercúrio) é 760 milímetros. Fica fácil achar h(água):

$\displaystyle{ \frac{13600}{1000}=\frac{h_{agua}}{{760}} }$

$\displaystyle{13.6=\frac{h_{agua}}{{760}} }$

$\displaystyle{h_{agua}=13.6\cdot 760} }$

$\displaystyle{h_{agua}= 10336}$ milímetros.

Isso dá cerca de 10.3 metros!

Sendo assim, se Torricelli fizesse seu experimento usando água, ele iria obter uma coluna de cerca de 10.3 metros!

Material usado para consulta: "Curso de Física Básica 2: Fluidos, Oscilações e ondas, Calor" H. Moysés Nussenzveig