Question

Se $x+y=1$ e $x^2+y^2=2$, calcule $x^3+y^3$.

Answer 1

Temos a identidade do binômio, $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, e a do trinômio, $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$. 

Substituindo os valores de $x+y$ e $x^2+y^2$ na identidade do binômio, obtemos $1=2+2xy$ e, portanto, $xy=-\dfrac{1}{2}$.

Assim, pela dentidade do trinômio:

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=1-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot1$
$\boxed{x^3+y^3=\dfrac{5}{2}}$

Answer 2

Veja que:

$(x+y)^3=x^3+y^3+3x(x+y)\\ \\ Mas \ (x+y)=1 \rightarrow (x+y)^3=1^3=1\\ \\ \boxed{x^3+y^3=1-3y}$

Mas

$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\\ \\ Mas \ (x+y)=1 \rightarrow (x+y)^2=1^2=1\\ \\ 1=2+2xy\\ \\ xy=-\frac{1}{2}\\ \\ Substituindo \ xy:\\ \\ \boxed{x^3+y^3=1-3.(-\frac{1}{2})=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}}$