Question

Se
$(x + \frac{1}{x} ) {}^{2} = 3$
, então
${x}^{3} + \frac{1}{ {x}^{3} } + 9$
é igual a:

a)1
b)0
c)9
d)27​

Answer 1

Olá, tudo bem?

Vamos à isso:

${(x + \frac{1}{x}) }^{2} = 3 \\ = > x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} \: \: \: (i) \\ \\ = > {(x + \frac{1}{x}) }^{3} = {( \sqrt{3} )}^{3} \\ = > {x}^{3} + 3 {x}^{2} \times \frac{1}{x} + 3x \times \frac{1}{ {x}^{2} } + \frac{1}{ {x}^{3} } = \sqrt{ {3}^{3} } \\ = > {x}^{3} + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{ {x}^{3} } = 3 \sqrt{3} \\ = > {x}^{3} + \frac{1}{ {x}^{3} } + 3(x + \frac{1}{x} ) = 3 \sqrt{3} \\ substituindo \: pela \: relacao \: em \: (i) \\ = > {x}^{3} + \frac{1}{ {x}^{3} } + 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \\ = > {x}^{3} + \frac{1}{ {x}^{3} } = 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} \\ = > {x}^{3} + \frac{1}{ {x}^{3} } = 0 \\ adicionando \: ambos \: os \: membros \: por \: 9 \\ = > {x}^{3} + \frac{1}{ {x}^{3} } + 9 = 0 + 9 \\ = > {x}^{3} + \frac{1}{ {x}^{3} } + 9 = 9 \: \: c.q.d$

Letra C.

Espero ter ajudado!