Question

Se
$\sqrt{a} + \frac{1}{ \sqrt{a} } = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2} } }$
então,
${a}^{4} + \frac{1}{ {a}^{4} } =$


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Answer 1

Resposta: Encontra-se no final desta resolução.

Explicação passo-a-passo:

Note que o exercício proposto nos fornece à seguinte Equação Irracional (na incógnita $a$) envolvendo radicais quadráticos:

$\sqrt{a}+\cfrac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\ \ \ \ \ \ (i)$

Para dar seguimento à resolução, faz-se necessário determinar o Domínio de Validade $V$ da equação acima. O conjunto domínio de validade da equação $(i)$, que será representado por $V$, é o conjunto constituído por todos os possíveis valores que sua incógnita $a$ pode assumir, sendo este obtido através da interseção dos subdomínios de cada das expressões incógnitas que a constitui. Consequentemente, após uma análise minuciosa de todos os termos envolvendo a incógnita $a$, depreende-se que $a$ deve ser um real não negativo $(a\ \in\ \mathbb{R_{+}})$ e também diferente de zero $(a\neq 0)$, ou seja, a incógnita $a$ da equação é um número real positivo $(a\ \in\ \mathbb{R_{+}}\ \land\ a\neq 0\ \Leftrightarrow\ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}})$. Por fim, o domínio de validade da equaçao $(i)$ é $V=\mathbb{R_{+}^{*}}$. Para solucionar o exercício, deve-se partir da equação $(i)$ em busca do valor de $a^{4}+\cfrac{1}{a^{4}}$. Logo:

$\sqrt{a}+\cfrac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\ \ \ \Rightarrow$

$\left(\sqrt{a}+\cfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)^{2}\ \ \ \Rightarrow$

$\left(\sqrt{a}\right)^{2}+2 \cdot \sqrt{a} \cdot\cfrac{1}{\sqrt{a}}+\left(\cfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}=2+\sqrt{2+\sqrt{2}}\ \ \ \land\ \ \ a,\ \sqrt{a}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$a+2+\cfrac{1}{a}=2+\sqrt{2+\sqrt{2}}\ \ \ \Rightarrow$

$a+\cfrac{1}{a}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\ \ \ \Rightarrow$

$\left(a+\cfrac{1}{a}\right)^{2}=\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^{2}\ \ \ \Rightarrow$

$a^{2}+2 \cdot a \cdot \cfrac{1}{a}+\left(\cfrac{1}{a}\right)^{2}=2+\sqrt{2}\ \ \ \land\ \ \ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$a^{2}+2+\cfrac{1}{a^{2}}=2+\sqrt{2}\ \ \ \Rightarrow$

$a^{2}+\cfrac{1}{a^{2}}=\sqrt{2}\ \ \ \Rightarrow$

$\left(a^{2}+\cfrac{1}{a^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}\right)^{2}\ \ \ \Rightarrow$

$\left(a^{2}\right)^{2}+2 \cdot a^{2} \cdot \cfrac{1}{a^{2}}+\left(\cfrac{1}{a^{2}}\right)^{2}=2\ \ \ \land\ \ \ a^{2}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$a^{4}+2+\cfrac{1}{a^{4}}=2\ \ \ \Rightarrow$

$a^{4}+\cfrac{1}{a^{4}}=2-2=\fbox{0}$

Obs.: Mesmo restringindo a incógnita $a$ aos reais positivos $(a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}})$ e tomando os devidos cuidados ao longo de toda a resolução, obtivemos como resposta final um valor que, ao ser analisado separadamente com rigor matemático, é falso. O porquê disso é evidente, pois a equação irracional $(i)$ não possui solução que pertença ao seu domínio de validade $V=\mathbb{R_{+}^{*}}$. Ou seja:

$\nexists\ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}:\ \sqrt{a}+\cfrac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

Com isso a equação $(i)$ não terá nenhuma solução, e consequentemente seu conjunto solução $S$ será $S=\varnothing$ (conjunto vazio). Para $a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}$ é obviamente falso que:

$a^{4}+\cfrac{1}{a^{4}}=0$

A igualdade acima é o resultado final do exercício, que é uma consequência de implicações falsas, mas ainda sim continua sendo válido (do ponto de vista da Lógica Matemática). A validade da resposta final dá-se pelo fato de todas as implicações serem verdadeiras, ao passo que elevar à segunda potência (ao quadrado) ambos os membros de uma igualdade que supomos ser verdadeira (mesmo que não seja posível ser) a torna uma outra também verdadeira (seguindo à lógica arbitrária da primeira). Conclusão: chegamos em um resultado que a rigor matemático é obviamente falso, pois partimos de algo também falso (admitir a existência de raízes reais positivas para a equação), e ainda sim o resultado final precisa ser válido, ao passo que ele é fruto de uma sequência de implicações lógicas derivadas da equação irracional $(i)$, que, por hipótese, é tomada como verdadeira (solucionável) pelo próprio enunciado da questão (mesmo que a rigor não seja).

Um grande abraço!

Answer 2

Resposta:

√a  +  1/√a = √(2+√(2+√2))

(√a  +  1/√a)² = √(2+√(2+√2))²

a+2+1/a=2+√(2+√2)

a+1/a=√(2+√2)

(a+1/a)²=√(2+√2)²

a²+2+1/a²=2+√2

a²+1/a²=√2

(a²+1/a²)²=√2

a^4+2+1/a^4=2

a^4+1/a^4=0   , no texto não existe restrição ao número a, ele pode ser complexo, portanto, zero é uma resposta aceitável..

Mas, se houver uma nova informação, por exemplo, a é um número Real,  só existirá uma resposta, não existe um número Real possível.