Question

Se: $f(x)= \frac{4+x}{5-x}$encontre a derivada de f utilizando a definição, e determine o domínio de f’.

Answer 1

f(x) = (4+x)/(5-x)
f(x + Δx) = (4 + x + Δx)/(5 - x - Δx)

Agora que temos ele, vamos aplicar na definição:

f'(x) = lim (Δx>0)   f(x+Δx) - f(x)/ Δx         substituindo o que temos:
f'(x) = lim (Δx>0)   ((4 + x + Δx)/(5 - x - Δx) - (4+x)/(5-x)) / Δx  

Troque o sinal para multiplicação e inverta a segunda fração:
f'(x) = lim (Δx>0)   ((4 + x + Δx)/(5 - x - Δx) - (4+x)/(5-x)) . (1/Δx)

Aplicando a distributiva:
f'(x) = lim (Δx>0) (4 + x + Δx)/(5 - x - Δx)Δx - (4+x)/(5-x)Δx

Agora calcularemos o mmc dos 2 denominadores, a fim de juntar as frações:

MMC (5-x-Δx)Δx,(5 - x)Δx = (5-x-Δx)(5-x)Δx
-------------------------------------------------------------------------
Voltando:
f'(x) = lim (Δx>0) (4 + x + Δx)/(5 - x - Δx)Δx - (4+x)/(5-x)Δx

Agora arrumando as frações:
f'(x) = lim (Δx>0) ((4 + x + Δx)(5-x) - (4+x)(5 - x - Δx))/(5-x-Δx)(5-x)Δx

Agora vamos arrumar um pouco essa conta fazendo as distributivas no numerador:
f'(x) = lim (Δx>0) (20 - 4x + 5x - x² +5Δx - xΔx -(20 -4x -4Δx + 5x - x² - xΔx)/
(5-x-Δx)(5-x)Δx

f'(x) = lim (Δx>0) (20 - 4x + 5x - x² +5Δx - xΔx -20 +4x +4Δx - 5x+ x² + xΔx)/
(5-x-Δx)(5-x)Δx

Juntando os iguais:
f'(x) = lim (Δx>0) +9Δx / (5-x-Δx)(5-x)Δx     dividindo em cima e embaixo                                                                            por Δx:

f'(x) = lim (Δx>0) +9 / (5-x-Δx)(5-x)             
Agora substitua o Δx por 0 e acharemos a derivada:

f'(x) = 9/(5-x - 0)(5-x)
f'(x) = 9/(5-x)(5-x)
f'(x) = 9/(5-x)²

Bons estudos