Question

Se sen x = $\frac{3}{5}$ ( x do 1° quadrante), o valor de sen 2x é:

(A) $\frac{24}{25}$
(B) $\frac{6}{5}$
(C)$\frac{4}{3}$
(D)$\frac{23}{25}$

Answer 1

Olá  GabiSeraphim, neste exercício vamos explorar um pouco de duas identidades trigonométricas importantes na trigonometria. Vamos lá!

Resposta:

Alternativa A: $\frac{24}{25}$

Explicação passo-a-passo:

Lembrando que:

i) $sen^2(x)+cos^2(x)=1 , \forall x \in \mathbb{R}$

ii) $sen(2x)=2.sen(x).cos(x), \forall x \in \mathbb{R}$

Como $sen(x)=\frac{3}{5}$, utilizando a primeira relação (também chamada relação fundamental da trigonometria. Temos:

$sen^2(x)+cos^2(x)=1 \Rightarrow [sen(x)]^2+[cos(x)]^2=1 \Rightarrow$

$(\frac{3}{5})^2+[cos(x)]^2=1 \Rightarrow \frac{9}{25}+[cos(x)]^2=1 \Rightarrow [cos(x)]^2=1-\frac{9}{25}=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$[cos(x)]^2=\frac{16}{25} \Rightarrow cos(x)=+_-\sqrt{\frac{16}{25}} \Rightarrow cos(x)=+_-\frac{4}{5}$

Como x está no 1º quadrante, segue que cos(x)>0, e logo $cos(x)=+\frac{4}{5}$

Sendo assim, utilizando a identidade ii, vem:

$sen(2x)=2.sen(x).cos(x)=2.\frac{3}{5}.\frac{4}{5}=\frac{6}{5}.\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!