Question

Se sen a= 3/7 , e 0 < a < 90° , calcular :

A) cos (2a)


B) sen(2a)

Answer 1

Temos um ângulo a, com 0 < a < 90°, e é dado que

    sen a = 3/7

Primeiramente, vamos encontrar o valor de cos a. Aplicando a identidade trigonométrica fundamental,

    $\mathsf{cos^2\,a+sen^2\,a=1}\\\\ \mathsf{cos^2\,a=1-sen^2\,a}\\\\ \mathsf{cos^2\,a=1-\Big(\dfrac{3}{7}\Big)^2}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=1-\dfrac{9}{49}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=\dfrac{49-9}{49}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=\dfrac{40}{49}}$

    $\mathsf{cos\,a=\pm\,\sqrt{\dfrac{40}{49}}}\\\\\\ \mathsf{cos\,a=\pm\,\dfrac{\sqrt{40}}{7}}\\\\\\ \mathsf{cos\,a=\pm\,\dfrac{\sqrt{2^2\cdot 2\cdot 5}}{7}}\\\\\\ \mathsf{cos\,a=\pm\,\dfrac{2\sqrt{10}}{7}}$

Como a é um ângulo agudo (do 1º quadrante), então cos a é positivo:

    $\mathsf{cos\,a=\dfrac{2\sqrt{10}}{7}\qquad \checkmark}$

Agora, aplique as identidades do cosseno e do seno do arco duplo para encontrar o que se pede:

A)  $\mathsf{cos(2a)=cos^2\,a-sen^2\,a}$

    $\mathsf{cos(2a)=\Big(\dfrac{2\sqrt{10}}{7}\Big)^2-\Big(\dfrac{3}{7}\Big)^2}\\\\\\ \mathsf{cos(2a)=\dfrac{40}{49}-\dfrac{9}{49}}\\\\\\ \mathsf{cos(2a)=\dfrac{31}{49}\qquad\checkmark}$

B)  $\mathsf{sen(2a)=2\,sen\,a\,cos\,a}$

    $\mathsf{sen(2a)=2\cdot \dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{2\sqrt{10}}{7}}\\\\\\ \mathsf{sen(2a)=\dfrac{12\sqrt{10}}{49}\qquad\checkmark}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)