Se S = 1 + 2x + 3x² + ... com (0 < x < 1), pode-se afirmar que:
a) S = 1 / (1 -x) ²
b) S = x / (1 -x) ²
c) S = 2 / (2 -x) ²
d) S = 1 / (2 -x) ²
e) S = x / (2 -x) ²
Soluções para a tarefa
Resposta:
S=1 +2*x¹ + 3*x²+.... (i)
S*x = x+2x²+3x³+... (ii)
((i)-(ii)
S-S*x =1-x +2x-2x² +3x²-3x³ +.....
efetuando as operações do lado esquerdo
S*(1-x) =1+x+x²+x³+.....
S*(1-x)=1+x+x²+x³+..... ==>parece bastante com uma soma de uma P.G infinita de razão "x" , a1=1 ==>Sn=a1/(1-q)
S=*(1-x)=1/(1-x)
S*(1-x)=1/(1-x)
S=1/(1-x)² é a resposta
Letra B
Resposta: S = 1/(1 - x)²
— Primeira Resolução
No primeiro modo, solucionaremos com o auxílio do Cálculo Diferencial. Considere uma soma K(x) = x + x² + x³ + ... + ... Com isso temos:
K(x) = x + x² + x³ + ... + ... + ... => K(x) é a soma dos infinitos termos de uma P.G. de razão q = x²/x = x³/x² = ... = x e 0 < q = x < 1. Logo:
K(x) = x + x² + x³ + ... + ... + ... (i) =>
K(x) = x/(1 - x²/x) = x/(1 - x) (ii)
De (i) temos:
K(x) = x + x² + x³ + ... + ... + ... =>
K’(x) * = 1 + 2x + 3x² + ... + ... =>
K’(x) = S (iii)
De (ii), sabemos que:
K(x) = x/(1 - x) =>
K’(x) = S (de (iii)) e K’(x) = [x/(1 - x)]’ =>
S = [x/(1 - x)]’ ** =>
S = [x’(1 - x) - x(1 - x)’]/(1 - x)² =>
S = [(1 - x) - x(- 1)]/(1 - x)² =>
S = (1 - x + x)/(1 - x)² =>
S = (1 + x - x)/(1 - x)² =>
S = 1/(1 - x)²
* Derivada de primeira ordem da função K(x).
** Regra do Quociente
Letra a)
— Segunda Resolução
Considere a soma S = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... + ... + ... O outro modo de calcular o valor de tal soma é rearranjar as parcelas de modo conveniente. Assim sendo, obtemos:
S = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... + ... =>
S = 1 + (x + x) + (x² + x² + x²) + (x³ + x³ + x³ + x³) + ... + ... =>
S = (1 + x + x² + x³ + ... + ... ) + (x + x² + x³ + ... + ... ) + (x² + x³ + ... + ... + ... ) + (x³ + ... ) + ... + ... =>
S = 1/(1 - x) + x/(1 - x) + x²/(1 - x) + x³/(1 - x) + ... + ... + ... =>
S = 1/(1 - x)(1 + x + x² + x³ + ... + ... ) =>
S = 1/(1 - x)[1/(1 - x)] =>
S = 1²/(1 - x)² =>
S = 1/(1 - x)²
Letra a)
Abraços!