Question

Se P(x) um polinômio do 2° grau,tal que P(0)= -20,P(1)+P(2) = -18 e P(1) - 3P(2)=6.
Calcule o conjunto de todos os valores de x para os quais P(x)< 0.​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$Polinômio \: do \: segundo \: grau \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\begin{cases} P(0) = -20 \\ P(1) + P(2) = -18 \\ P(1) -3P(2) = 6 \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Como sabemos, um polinômio do segundo grau possui a seguinte estrutura:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\bullet \: \: P(x)=ax {}^{2} + bx + c \: \: \bullet$

Pelas informações dadas, temos que P(0) = -20, ou seja, quando x = 0, o resultado é -20, então:

$a.0 {}^{2} + b.0 + c = - 20 \: \: \to \: \: c = - 20$

Sabemos o valor de "c". Pelos dados sabemos também que P(1) + P(2) = -18 e também P(1) - 3P(2) = 6, através dessas informações podemos encontrar o valor de P(2) e consequentemente P(1), para isso vamos fazer um sistema:

$\begin{cases}P(1) + P(2) = -18 \\ P(1) -3P(2) = 6 \end{cases} \\ \\ P(1) + P(2) - P(1) + 3 P(2) = - 6 - 18 \\ 4 P(2) = - 24 \\ P(2) = - \frac{24}{4} \\ P(2) = - 6$

Substituindo o valor de P(2) em uma das relações, temos que P(1) é:

$P(1) + P(2) = - 18 \\ P(1) - 6 = - 18 \\ P(1) = - 18 + 6 \\ P(1) = - 12$

Agora com essas informações, vamos substituir na relação do polinômio do segundo grau:

$a.2 {}^{2} + b.2 {}^{} - 20 = - 6 \\ 4a + 2b = - 6 + 20 \\ 4a + 2b = 14 \\ \\ a.1 {}^{2} + b.1 - 20 = - 6 \\ a + b = - 6 + 20 \\ a + b = 14$

Resolvendo o sistema formado:

$\begin{cases}4a + 2b = 14 \\ a + b = 8 \end{cases} \\ \\ 4a + 2b - 2a - 2b = 14 - 16 \\ 2a = - 2 \\ a = - 1$

Encontrando o valor de "b":

$a + b = 8\\-1+ b = 8 \\ b = 8+1\\ b = 9$

Portanto o polinômio é:

$P(x)= -x {}^{2} + 9x - 20$

A pergunta da questão é para quais valores de x o polinômio P(x) é menor que 0. Fazendo isso:

$- x {}^{2} + 9x - 20 < 0$

Para resolver essa inequação devemos primeiro calcular as raízes da equação. Adiantando logo o cálculo, temos que as raízes são:

$x_{1} = 5 \: \: e \: \: x_{2} = 4$

Dispondo isso em um gráfico resumido (como mostrado na figura), temos uma parábola com concavidade voltada para baixo e raízes 5 e 4. Como na inequação temos P(x) < 0, então vamos observar quando o polinômio é negativo, através do gráfico. Analisando o gráfico, vemos que os valores que são negativs são quando x < 4 ou x > 5, portanto a resposta é:

$S = \{x\in\mathbb{R} \: | \:x<4 \:ou \ x>5\}$

Espero ter ajudado