Question

Se os números naturais A e B são tais que:
− mmc(A,B) = 840,
− mdc(A,B) = 12,
− A = 2^x . 15 e B = 2^y . 21, com x > y,
então, A + B é igual a
(A) 204.
(B) 900.
(C) 490.
(D) 852.
(E) 432

Answer 1

Resposta:

A + B = 204, alternativa ( A )

Explicação passo a passo:

Dados do exercício:

mmc(A, B) = 840,

mdc(A,B) = 12

A = 2^x . 15

B = 2^y . 21

x > y

Sabe-se que mdc(A,B) . mmc(A,B) = A.B = (2^x . 15) . (2^y . 21) e, portanto,

2^(x + y) . 15 . 21 = mmc(A.B) . mdc(A,B) = 840 . 12 = 10080

2^(x + y) . 315 = 10080

2^(x + y) = 10080 / 315

2^(x + y) = 32

2^(x + y) = 2^5

Então pelas propriedades de potenciação fica:

x + y = 5

Detalhe importante do exercício: x > y. Quais são os números naturais tais que x + y = 5? Temos duas possibilidades:

1ª) x = 4  e  y = 1

2ª) x = 3 e  y = 2

• Vamos supor que seja a a 1ª possibilidade, x = 4 e y = 1.

Então, A = 2^x . 15 = 2^4 . 15 = 240 e y = 2^y . 21 = 2^1 . 21 = 42 donde,

A = 240 e y = 42. Agora,  para conferir, o mdc(A, B) nessas condições vale quanto? Uma maneira fácil de resolver é decompor em fatores primos 240 e 42. Assim: A = 240 = 2^4 . 3 . 5 e B = 2 . 3 . 7

Para saber o mdc(A, B) tomamos os fatores comuns a A e B, porém com as menores potências. Logo mdc(A, B) = 2 . 3 = 6. Contradição! O exercício afirma que o mdc (A, B) = 12.

Então só resta a 2ª possibilidade que é  x = 3 e y = 2

Conclusão:

A = 2^x . 15 = 2^3 . 15 = 8 . 15 = 120

B = 2^y . 21 = 2^2 . 21 = 4 . 21 = 84

Portanto, A + B = 120 + 84 = 204

Conferindo:

A = 120 = 2^3 . 3 . 5

B = 84 = 2^2 . 3 . 7

Tomando os fatores comuns de A e B com as menores potências temos que mdc(A, B) = 2^2 . 3 = 4 . 3 = 12, como era esperado.

Alternativa correta é a ( A )

@sepauto

Sebastião Paulo Tonolli

10/10/2022

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