Question

Se o triângulo de vértices nos pontos P1(0,0), P2(3,1) e P3(2, K) é retângulo, com o ângulo de vértice? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

Vou substituir P1  por  P ;  P2  por  Q    e    P3  por  R .

Temos então  :   P( 0 , 0 )   ;    Q( 3 , 1 )    e   R( 2 , K )

 d(PQ)  é a distância  do  ponto P ao ponto Q que é dada pela fórmula 

d(PQ)=√ [(3-0)² +(1-0)²] = √ [9+1] = √10

d(PR) = √ [(2-0)²+(k-0)²] = √ [ 4+k²]

d(QR) = √ [(3-2)²+(k-1)² ] = √ [1²+k²-2k +1] = √[k²-2k+2]

Agora vamos trabalhar com o teorema de Pitágoras ( a² = b²+c² )

Se o ângulo reto for R  a hipotenusa será PQ 

[d(PQ) ]²=[d(PR)]²+[d(QR)]² ⇒10= 4+k² +k²-2k+2⇒2k²-2k-4=0 ⇒

k²-k-2=0 que tem raízes  k'= -1 e  k''= 2 e o ponto R terá coordenadas

(2,-1)  ou ( 2,2)
 
Se o ângulo reto for em Q a hipotenusa será PR 

[d(PR)]²=[d(PQ)]²+[d(QR)]² ⇒4+k²=10+k²-2k+2 ⇒2k=8⇒ k=4 

e o ponto R terá coordenadas  (2,4)

Se o ângulo reto for em P a hipotenusa será QR

[d(QR)]²=[d(PR)]²+[d(PQ)]² ⇒k²-2k+2=10+4+k² ⇒-2k=16 ⇒ k = -8

e o ponto R terá coordenadas   (2,-8)

Ver detalhes no anexo