Question

Se o terceiro termo do desenvolvimento (u+t)^6 é igual a 135u^4, então encontre o valor de t.

HELP!!

Answer 1

(u + t)⁶ é um binômio de Newton.

Temos que: a = u, b = t, n = 6

Aplicando na fórmula do termo geral do binômio de Newton, temos:

$T_{p + 1} = C_{n,p} .a^{n-p}. b^{p}$

Como é dado o terceiro termo, substituímos p por 2 nessa fórmula. Logo:

$T_{2+1} = C_{6,2} . u^{6 - 2} . t^{2}$

Vamos calcular logo a combinação.

$C_{6,2} =  \frac{6!}{2!(6 - 2)!}\\\\C_{6,2} = \frac{6!}{2!4!} \\\\C_{6,2} = \frac{6.5.4!}{2!4!}\\\\C_{6,2} = \frac{6.5}{2!}\\\\C_{6,2} = \frac{30}{2}\\\\C_{6,2} = 15$

Voltando para a fórmula, temos:

$T_{2+1} = C_{6,2} . u^{6 - 2} . t^{2} \\T_{3} = 15 . u^{4} . t^{2}$

Como o enunciado fala que esse termo é igual a 135u⁴, temos:

$135u^{4} = 15 . u^{4} . t^{2}\\\\t^{2} = \frac{135.u^{4}}{15u^{4}}  \\\\t^{2} = \frac{135}{15} \\t^{2} = 9\\t = \sqrt{9}\\t = 3$

Resposta: t = 3.