Question

se o quadrado de um número natural é par então esse número também é par

Answer 1

Um número natural par, tem uma lei de formação, ou modo genérico de se apresentar, assim, todo número par se comporta da forma: 2n. Ex: 2.0 = 0; 2.1 = 2; 2.2 = 4 e assim sucessivamente. Logo, essa lei de formação elevado ao quadrado será: (2n)² = 4n² = 2n.2n o que também é par.

Answer 2

Com base nos estudos sobre números pares e ímpares provamos que: x² é par ⇔ x é par, com x ∈ Z

Números pares e ímpares

Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, ou seja seu resultado é um número sem casas decimais, caso contrário esse número é dito ímpar.

Seja P o conjunto dos números inteiros pares e I o conjunto formado pelos números inteiros ímpares, então

• P = {x∈Z/x = 2k,k∈Z}
• I = {x∈Z/x = 2k-1,k∈Z}

Exemplo

1. O n° 6 é par, pois pode ser representado por 2 . 3
2. O n° 11 é ímpar, pois pode ser representado por 1 . 5 + 1

Propriedade: Sendo P e I os conjuntos dos números imteiros pares e ímpares, respectivamente, temos

• P ∪ I = Z e P ∩ I = ∅

Podemos reescrever a afirmativa da seguinte forma: "O quadrado de um número inteiro é par se, e somente se, esse número é par, isto é, x² é par ⇔ x é par, com x ∈ Z."

Solução: A proposição x² é par ⇔ x é par, com x ∈ Z pode ser decomposta nas duas proposições

1. x é par ⇒ x² é par, com x ∈ Z e
2. x² é par ⇒ x é par, com x ∈ Z

Demonstração de (1)

• Pela hipótese, x é par; logo, podemos representar x por x = 2n, com n ∈ Z. Então: x² = (2n)² = 4n² = 2 . 2n²(inteiro). Como 2n² é inteiro, concluímos que 2 . 2n² é par. Assim fica demonstrado que x² é par.

Demonstração de (2)

• Consideremos que x não seja par, isto é, que x seja ímpar. Então, podemos representar x por x = 2n + 1, com n ∈ Z. Assim: x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1.
• 2n² + 2n é inteiro, então x² = 2(2n² + 2n) + 1 é ímpar. Mas isso é um absurdo, pois, por hipótese, x² é par. Como, admitindo x ímpar, chegamos a um absurdo, concluímos que x não pode ser ímpar, portanto x é par.
• Pela demonstração de (1) e (2), provamos que: x² é par ⇔ x é par, com x ∈ Z

Saiba mais sobre números pares: https://brainly.com.br/tarefa/18798284

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