Question

se o proprietário de uma fábrica de Vassouras verificou que quando se produziam 100 vassouras por mês o custo total da empresa era de 2060 quando se produziam 200 vassouras o custo mensal era de r$ 3800 o gráfico que representa a relação entre o custo mensal (c) e o número de Vassouras produzidas por semana (X) é formado por pontos de uma reta
a) obtenha C em função X.
b) se a capacidade máxima de produção da empresa de 3.000vassouras/mês por mês Qual o valor do custo máximo mensal?

Answer 1

a)

Se o gráfico do custo versus quantidade de vassouras é representado por uma reta, queremos encontrar constantes $a$ e $b$ tais que

$C(x)=ax+b$

Sabemos que $C(100)=2060$ e $C(200)=3800$.

Da primeira, concluímos que

$C(x)=ax+b\\\\C(100)=a\cdot100+b\\\\\boxed{\boxed{2060=100a+b}}$

Já da segunda:

$C(x)=ax+b\\\\C(200)=a\cdot200+b\\\\\boxed{\boxed{3800=200a+b}}$

Portanto, temos o sistema

$\begin{cases}200a+b=3800\\100a+b=2060\end{cases}$

Subtraindo as equações:

$(200a+b)-(100a+b)=3800-2060\\\\(200a-100a)+(b-b)=1740\\\\100a=1740\\\\\boxed{\boxed{a=17,4}}$

Substituindo $a=17,4$ na segunda equação:

$100a+b=2060\\\\100\cdot17,4+b=2060\\\\1740+b=2060\\\\b=2060-1740\\\\\boxed{\boxed{b=320}}$

Então:

$C(x)=ax+b~~\Longrightarrow~~\boxed{\boxed{C(x)=(17,4)x+320}}$

Essa é a expressão do custo $C$ em função da qtd. de vassouras produzidas $x$
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b)

O custo mensal máximo será encontrado quando forem produzidas 3000 vassouras num mês, pois essa é a quantidade máxima de vassouras produzidas, e a função $C(x)$ é uma função crescente.

Portanto:

$C_{m\'ax}=C(3000)\\\\C_{m\'ax}=17,4\cdot3000+320\\\\C_{m\'ax}=52200+320\\\\\boxed{\boxed{C_{m\'ax}=52520~reais}}}$