Question

Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 – 1 é divisível por x2 + x – 1, então m é igual a:
A)-3
B)-2
C)-1
D)1
E)2

Answer 1

Podemos fazer das seguintes formas :

1ª forma :
Se x²+x-1 divide P(x), então :

$\displaystyle \sf (x^2+x-1)\cdot (ax+b)=x^3+mx^2-1 \\\\ ax^3+bx^2+ax^2+bx-ax-b = x^3+mx^2-1 \\\\ ax^3+x^2(b+a)+x(b-a) - b =x^3+mx^2- 1$

Para que dois polinômios sejam iguais seus coeficientes devem ser iguais, ou seja :

$\displaystyle \sf ax^3+x^2(b+a)+x(b-a) - b =x^3+mx^2- 1 \\\\ ax^3 = x^3 \to a = 1 \\\\ -b = - 1 \to b =1 \\\\ Da{\'i}} : \\\\ x^3+x^2(1+1)+x(1-1)-1 = x^3+mx^2-1 \\\\ x^3+2x^2-1 = x^3+mx^2-1 \\\\ mx^2 = 2x^2 \to m = 2\\\\\ \huge\boxed{\sf m = 2}\checkmark$

2ª forma :
Se P(x) é divisível por x²+x-1 , então as raizes de x²+x-1 são tbm raízes de P(x),

Digamos que as raízes de x²+x-1 sejam $\sf x_1 \ e \ x_2$, e que as raízes de P(x) sejam $\sf x_1 \ , \ x_2 \ e \ x_3$. Daí vamos usar uma das relações de girard :

$\displaystyle \sf a.x^3+b.x^2+c.x+d = 0 \\\\ x_1\cdot x_2\cdot x_3 = \frac{-d}{a} \\\\ onde : \\\ x_1, x_2,x_3 = \text{ra{\'i}zes } \\\\ Da{\'i}}, temos : \\\\ x^3+mx^2-1 \\\\ x_1\cdot x_2\cdot x_3 = \frac{-(-1)}{1} \\\\ x_1\cdot x_2\cdot x_3 = 1\\\\ \text{por{\'em} sabemos que} \ x_1\cdot x_2 \text{ {\'e} produto das ra{\'i}zes de }} x^2+x-1, \ logo :$

$\displaystyle \sf x_1\cdot x_2 = \frac{-1}{1} \\\\ x_1\cdot x_2 = -1 \\\\ Da{\'i}} : \\\\ x_1\cdot x_2\cdot x_3 = 1 \\\\ -1\cdot x_3 = 1 \\\\\ \boxed{\sf x_3 =-1 } \\\\ Da{\'i}} \ P(-1) = 0: \\\\ (-1)^3 +m\cdot (-1)^2 -1 = 0 \\\\ -1+m-1 = 0 \\\\ \huge\boxed{\sf m =2 }\checkmark$