Question

Se o lado de um triângulo equilátero é racional, então a área do triângulo é irracional. Verdadeira ou Falsa?

Answer 1

Verdadeiro.

Seja $\triangle ABC$ um triângulo equilátero de lado $\ell$. É possível descobrir a altura relativa do triângulo equilátero a partir do Teorema de Gougu:

$(\ell)^2=\left(\dfrac{\ell}{2}\right)^2+h^2\ \to\ h^2=\dfrac{3\ell^2}{4}\ \therefore\ \boxed{h=\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}}$

A área do $\triangle ABC$ será igual a:

$S=\dfrac{1}{2}\ell\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}}\ \therefore\ \boxed{S=\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}}$

Logo, se $\ell\in\mathbb{Q}$, $S\in\mathbb{I}$.