Question

Se o coeficiente do termo de maior grau de um polinomio do quarto grau é 1 e suas raízes são x1=2i, x2=-2i, x3=3 e x4=4, então o polinômio em questão é:

Answer 1

Um polinômio de quarto grau é do tipo:

$P(x) = ax^{4} +bx^{3}+cx^{2} + dx + e$

Quando associamos esse polinômio às suas raízes, ou queremos saber qual a forma polinomial que originou esse polinômio p(x), deveremos partir do seguinte polinômio:

$p(x) = (x- x_{1} )(x- x_{2} )(x- x_{3} )(x- x_{4} )$

Como as raízes já foram dadas, temos:

$p(x) = (x-2i )(x+ 2i )(x- 3 )(x- 4 ) \\ \\ p(x) = ( x^{2} - (2i)^{2} )( x^{2} -4x-3x+12 ) \\ \\ p(x) = ( x^{2} + 4 )( x^{2} -7x+12 ) \\ \\ p(x) = x^{2} .( x^{2} -7x+12 )+4.( x^{2} -7x+12 ) \\ \\ p(x) = x^{4} -7 x^{3} +12 x^{2} +4x^{2} -28x+48 \\ \\ p(x) = x^{4} -7 x^{3} +16x^{2} -28x+48$