Question

Se (n + 4) ! + (n + 3) ! = 15 (n +2) ! , então n=?

Answer 1

Equação: $(n+4)!+(n-3)! = 15 \cdot (n+2)!$

Primeiro, simplifique o fatorial:

$(n+4)!+(n+3)! = 15 \cdot (n+2)! \\ \\ (n+4) \cdot (n+3) \cdot (n+2)! + (n+3) \cdot (n+2)! = 15 \cdot (n+2)! \\ \\ (n+2)! \cdot ((n+4) \cdot (n+3) + (n+3)) = 15 \cdot (n+2)! \\ \\ (n+4) \cdot (n+3) + (n+3) = 15$

Agora basta resolver a equação para 'n':

$(n+4) \cdot (n+3) + (n+3) = 15 \\ \\ n^2+3n+4n+12+n+3 = 15 \\ \\ n^2+8n+15 = 15 \\ \\ n^2+8n = 0 \\ \\ n \cdot (n + 8) = 0 \\ \\ \therefore ~~~ \boxed{n = 0} ~~~~~~~~~ | ~~~~~~~~~ n+8 = 0 ~~ \to ~~ \boxed{n = -8}$

Como não se pode ter um fatorial negativo, temos como resposta:

$\boxed{\boxed{n = 0}}$