Question

Se M = sen x + cos x, e N = sen x - cos x, prove que M² + N² = 2

Answer 1

Fazendo manipulações algébricas:

primeiro para M:

$M = \sin(x) + \cos(x) \\ {M}^{2} = { (\sin(x) + \cos(x) ) }^{2} \\ {M}^{2} = \sin {}^{2} (x) + 2 \sin(x) \cos(x) + \cos {}^{2} (x) \\{ M }^{2} = 1 + 2 \sin(x) \cos(x)$

agora para N:

$N = \sin(x) - \cos(x) \\ {N}^{2} = {( \sin(x) - \cos(x)) }^{2} \\ {N}^{2} = \sin {}^{2} (x) - 2 \sin(x) \cos(x) + \cos {}^{2} (x) \\ {N}^{2} = 1 - 2 \sin(x) \cos(x)$

agora somando N² com M²:

${M}^{2} + {N}^{2} = 1 - 2 \sin(x) \cos(x) +1 + 2 \sin(x) \cos(x) \\ {M}^{2} + {N}^{2} =2$