Question

SE LOG RAIZ 8 512 = X, ENTÃO X VALE :

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lais, pelo que estamos entendendo, a sua questão pede o valor de "x" na seguinte expressão logarítmica: log de 512, na base √8.
Ora, mas como √8 = 8¹/², então teremos isto:

log₈¹/² (512) = x

Agora note isto e não esqueça mais: quando o expoente é da BASE, então o inverso desse expoente passa a multiplicar o respectivo logaritmo. Como o inverso de 1/2 é igual a "2", então ficaremos assim:

2log₈ (512) = x ----- agora passamos o "2" como expoente do logaritmando, ficando assim:

log₈ (512²) = x ---- agora basta aplicar a definição de logaritmo, ficando assim:

8ˣ = 512² ----- note que 8 = 2³; e 512 = 2⁹ . Assim, ficaremos:

(2³)ˣ = (2⁹)² ----- desenvolvendo, ficaremos assim:

2³*ˣ = 2⁹*²
2³ˣ = 2¹⁸ ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Assim:

3x = 18
x = 18/3
x = 6 <--- Esta é a resposta. Este é o valor de "x" procurado.

Observação: note que há diferença entre utilizar-se o expoente da BASE e o expoente do LOGARITMANDO. Quando o expoente é do logaritmando então é ele mesmo que passa a multiplicar o respectivo log. Mas quando o expoente é da base, quem passa multiplicando o respectivo log é o inverso do expoente da base.
Veja a diferença:

i) expoente do logaritmando: logₐ (bⁿ) = n*logₐ (b)

ii) expoente da base: logₐⁿ (b) = (1/n)*logₐ (b)

Notou a diferença entre o expoente ser do logaritmando e da base?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.