Question

Se log(√2x) base 2 + log(x) base 4 = 0, então log(2x) base √2 é igual a

Answer 1

Vamos lá.

Após você haver "arrumado" a questão, então a questão será esta: "Dê o valor de:
LOG (2x) , sabendo-se que:
....√2


log₂ [√(2x)] + log₄ (x) = 0 ---- veja que 4 = 2²; e √(2x) = (2x)¹/². Assim, ficaremos com:

log₂ (2x)¹/² + log₂² (x) = 0

Agora veja isto, que é importante: O INVERSO do expoente da base  passa multiplicando o logaritmo. Como o expoente da base é "2", então "1/2" passará multiplicando. Assim, vamos ficar da seguinte forma:

log₂ (2x)¹/² + (1/2)*log₂ (x) = 0 ---- agora passamos o "1/2" para expoente do segundo logaritmo, com o que ficaremos assim:

log₂ (2x)¹/² + log₂ (x)¹/² = 0 ------ veja que a soma transforma-se em produto, ficando:

log₂ [(2x)¹/²*(x)¹/²] = 0 ----- veja que isto é a mesma coisa que:
log₂ [(2x)*(x)]¹/² = 0
log₂ (2x²)¹/² = 0  ----- note que isto é a mesma coisa que;

2⁰ = (2x²)¹/² ------ como 2⁰ = 1, ficaremos com:
1 = (2x²)¹/² ----- note que (2x²)¹/² = 2¹/²*(x²)¹/². Assim:
1 = 2¹/² * (x²)¹/²
1 = 2¹/² * x²*¹/²
1 = 2¹/² * x²/²
1 = 2¹/² * x¹ --- ou apenas:
1 = 2¹/² * x ----- agora veja que 2¹/² = √(2). Assim:
1 = √(2) * x ---- ou, o que é a mesma coisa;
1 = x√(2) ------ vamos apenas inverter, ficando:
x√(2) = 1 ---- isolando "x", ficaremos com:
x = 1/√(2) ----- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(2). Assim:

x = 1*√(2) / √(2)*√(2) ----- desenvolvendo, ficaremos com
x = √(2) / 2  <---- Este será o valor de "x".


Bem, agora vamos ao que está sendo pedido, que é:

LOG (2x)
...√2

Como já vimos que x = √(2) / 2, então vamos fazer a devida substituição na expressão acima. Assim, chamando a expressão dada de um certo "y", teremos:

y = LOG [2*√(2)/2]
.........√2

Na expressão acima, vamos dividir "2" do numerador com "2" do denominador, ficando apenas com :

y = LOG [√2]
..........√2

Agora veja que quando o número é igual a base, então o logaritmo será igual a "1". Assim:

y = 1 <----- Esta é a resposta. Este será o valor do logaritmo pedido.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Veja arquivo encaminhado em anexo.