Question

Se L(x) = x3 −105x
2 +3000x −10000 é a função lucro de uma determinada
empresa, onde x é a quantidade produzida e vendida, no intervalo 0 ≤ x ≤ 60 , e L(x) é dada em
unidades monetárias, determine o que se pede em cada item.
a) os intervalos abertos onde o lucro é crescente;
b) A quantidade que deve ser produzida e vendida para que se tenha lucro máximo bem como o lucro máximo.​

Answer 1

Tratando-se de um problema de otimização, precisamos do conhecimento de derivadas para poder resolvê-lo. A regra a ser utilizada será a mais básica, a regra da potência, que é:

$\frac{d(x^n)}{dx} = n \cdot x^{n-1}$

Com isso, podemos começar a resolução.

Utilizando os chamados testes da derivada 1ª e 2ª, podemos determinar o que se pede, sendo que:

Teste da derivada 1ª: Indica os pontos críticos da função, ou seja, pontos onde têm-se máximos ou míninos, locais ou globais;

Teste da derivada 2ª: Indica os pontos de inflexão, ou seja, pontos onde a função muda a sua concavidade, de crescente para decrescente, ou vice-versa.

Sendo a função lucro dada por L(x), precisamos encontrar L'(x) e L''(x), denotando a derivada 1ª e a derivada 2ª, respectivamente. Aplicando a regra já mencionada, temos:

$L(x) = x^3 - 105x^2+3000x-10000\\L'(x) = 3x^2-210x+3000\\L''(x) = 6x-210$

Para encontrar os pontos de inflexão, devemos colocar a derivada 2ª igual a 0, logo:

$6x-210=0\\x=\frac{210}{6}=35$

Com isso, sabemos que 35 unidades produzidas é o ponto de inflexão da função lucro. Agora, precisamos aplicar valores menores e maiores que 35 em L''(x) para saber onde ela é crescente (L''(x) > 0) ou decrescente (L''(x) < 0), logo:

$L''(34) = 6\cdot34-210 = -6\\L''(35) = 6\cdot35-210 = 0\\L''(36) = 6\cdot36-210 = 6$

Assim, concluímos que, para valores maiores que 35 unidades, L(x) é crescente, fato que pode ser confimado por L''(x) se tratar de uma função linear cuja raiz é 35, logo, valores acima deste irão sempre retornar L''(x) > 0.

Portanto, a) (35, ∞).

Para a próxima etapa faremos algo semelhante, mas, agora, a derivada 1ª deve ser igualada a 0 para encontrar os pontos críticos da função, logo:

$3x^2-210x+3000 = 0\\x_1 = 50, x_2 = 20$

(Resolução pela "Fórmula de Bhaskara").

Com isso, 50 e 20 unidades produzidas retornam um lucro máximo ou mínimo, mas, qual é qual? Basta aplicar estes valores em L(x), logo:

$L(50) = 50^3 - 105\cdot50^2+3000\cdot50-10000 = 2500\\L(20) = 20^3 - 105\cdot20^2+3000\cdot20-10000 = 16000$

b) Com isso, podemos notar que quando são produzidas 20 unidades, o lucro é de 16000, sendo este o lucro máximo.

Por fim:

a) (35, ∞)

b) L(20) = 16000

Espero ter ajudado.