Question

Se L(x) = 3x^5 + x^4 – x^3 + 2x, M(x) = x^3 – 2x e N(x), que é o resto da divisão de L(x) por M(x). Determine todos os valores de x para os quais se tem N(x) > 54.

Answer 1

Primeiro vamos achar o valor desse resto:

  3x⁵ + x⁴ - x³ + 2x          x³ - 2x
-3x⁵ + 6x³                       3x² + x + 5
________
  x⁴ + 5x³ + 2x
 -x⁴ +2x²
____________
 5x³ + 2x² + 2x 
-5x³ + 10x
_______________
2x² + 12x <<< resto

O exercício pede os valores para os quais n(x) > 54,  logo:
2x² + 12x > 54          divida tudo por 2
x² + 6x > 27
x² + 6x - 27 > 0

Para facilitar trate isso como se fosse uma função e veja onde ela é maior que 0, assim:

f(x) = x² + 6x - 27               primeiro ache as raízes dessa função, vou achá-                          las por soma e produto, mas pode usar bhaskara se preferir:

x1 + x2 = -b/a = -6/1 = -6
x1 . x2 = c/a = -27/1 = -27

Pense em 2 números cuja soma é -6 e o produto -27,os números são -9 e 3, assim x1 = -9 e x2 = 3

Como essa função possui coeficiente angular positivo ela possui concavidade para cima, assim ela é maior que 0 anes de x1 e depois de x2, logo:
x < -9 ou x > 3.

Bons estudos