Question

Se k é um número inteiro qualquer, sobre as raízes da equação
$x^{2}$+ kx + k – 1 = 0, pode-se afirmar corretamente que

a)são sempre números positivos.
b)são sempre números negativos.
c)podem ser números inteiros e
consecutivos.
d)podem ser números inteiros e pares

Answer 1

$x^2+kx+k-1=0\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\\\x=\dfrac{-(k)\pm\sqrt{(k)^2-4(1)(k-1)}}{2(1)}\\\\\\x=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-4k+4}}{2}\\\\\\x=\dfrac{-k\pm\sqrt{(k-2)(k-2)}}{2}\\\\\\x=\dfrac{-k\pm(k-2)}{2}$

$x=\dfrac{-k\pm(k-2)}{2}\\\\x_1=\dfrac{-k+(k-2)}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1\\\\x_2=\dfrac{-k-(k-2)}{2}=\dfrac{-2k+2}{2}=1-k$

A letra a está errada porque uma das raízes é sempre -1, que é negativo.
A letra b está errada porque 1-k é não é negativo se k maior ou igual a 0.
A letra d está errada porque -1 não é par.

A resposta é a letra "c" pois se k for 1, a uma raiz será 1-k=0 e a outra será -1 e 0 é consecutivo a -1. Também se k for 3, 1-k=-2 e -1 é consecutivo a -2.