Question

Se g(f(x)) é igual a x² + 13x + 42 e g(x) = x² - x, determine o termo independente de x na expressão de f(x), sabendo que f(x) é um polinômio com coeficientes positivos.

Answer 1

Resposta:

Como

$g(x) = x^2 - x,$

temos que

$g\left[f(x) \right] = \left[f(x) \right]^2 - f(x).$

Assim:

$\left[f(x) \right]^2 - f(x) = x^2 + 13x + 42.$

Perceba que, para a igualdade acima ser verdadeira, $f(x)$ tem de ser uma função polinomial de primeiro grau, isto é:

$f(x) = ax + b, a\neq 0.$

Continuando:

$\Longleftrightarrow \left(ax + b\right)^2 - \left(ax + b \right) = x^2 + 13x + 42\\\\\Longleftrightarrow a^2x^2 +2abx + b^2 - ax - b = x^2 + 13x + 42\\\\\Longleftrightarrow a^2x^2 +(2ab-a)x + b^2 - b = x^2 + 13x + 42$

Os dois polinômios da igualdade acima serão iguais se, e somente se, seus coeficientes respectivos forem iguais, isto é:

$i)\,\,\,a^2 = 1;\\\\ii)\,\,2ab - a = 13;\\\\iii) \, b^2 - b = 42.$

(i):

$a^2 = 1\\\\\Longleftrightarrow a = \pm \sqrt{1}\\\\\Longleftrightarrow a = \pm 1.$

(iii):

$b^2 - b = 42\\\\\Longleftrightarrow b^2 - b - 42 = 0\\\\\Longleftrightarrow (b+6)(b-7) = 42\\\\\Longleftrightarrow b = -6\,\,\,ou\,\,\,b = 7.$

Como o enunciado afirma que $f(x)$ é um polinômio com coeficientes positivos, devemos ter $a = 1$ e $b = 7$.

Vejamos se esses valores verificam a igualdade (ii):

$2ab - a\\\\= 2 \cdot 1 \cdot 7 - 1\\\\= 14 - 1\\\\= 13.$

Assim, a igualdade (ii) é verificada.

Portanto,

$f(x) = x + 7.$

Seu termo independente é 7.