Question

Se for possível, calcule as operações com matrizes: A) AB- BA
B) 2C-D
C) D^2-DE

Answer 1

As operações AB - BA, 2C - D e D² - DE estão desenvolvidas abaixo.

a) As matrizes A e B são quadradas de ordem 2. Sendo assim, são possíveis as multiplicações AB e BA.

Então, temos que:

$AB = \left[\begin{array}{ccc}5&0\\6&7\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}0&4\\2&-8\end{array}\right]$

$AB = \left[\begin{array}{ccc}0&8\\14&-32\end{array}\right]$

e

$BA = \left[\begin{array}{ccc}0&4\\2&-8\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}2&0\\6&7\end{array}\right]$

$BA=\left[\begin{array}{ccc}24&28\\-44&-56\end{array}\right]$.

Portanto, a subtração AB - BA é igual a:

$AB-BA = \left[\begin{array}{ccc}0&8\\14&-32\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}24&28\\-44&-56\end{array}\right]$

$AB-BA=\left[\begin{array}{ccc}-24&-20\\58&24\end{array}\right]$.

b) Observe que a matriz C possui duas linhas e três colunas, enquanto que a matriz D possui três linhas e três colunas.

Então, não é possível realizar a subtração 2C - D.

c) Vamos determinar a matriz D². Para isso, basta multiplicar a matriz D por ela mesma:

$D^2=\left[\begin{array}{ccc}-6&4&0\\1&1&4\\-6&0&6\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}-6&4&0\\1&1&4\\-6&0&6\end{array}\right]$

$D^2 = \left[\begin{array}{ccc}40&-20&16\\-29&5&28\\0&-24&36\end{array}\right]$.

Agora, vamos realizar a multiplicação D.E. Note que isso é possível, pois ambas matrizes são de ordem 3. Sendo assim:

$DE=\left[\begin{array}{ccc}-6&4&0\\1&1&4\\-6&0&6\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}6&9&-9\\-1&0&-4\\-6&0&-1\end{array}\right]$

$DE=\left[\begin{array}{ccc}-40&-54&38\\-19&9&-17\\-72&-54&48\end{array}\right]$.

Portanto, a subtração D² - DE é igual a:

$D^2 - DE = \left[\begin{array}{ccc}40&-20&16\\-29&5&28\\0&-24&36\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}-40&-54&38\\-19&9&-17\\-72&-54&48\end{array}\right]$

$D^2 - DE=\left[\begin{array}{ccc}80&34&-22\\-10&-4&45\\72&30&-12\end{array}\right]$.

Answer 2

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Em matemática, matrizes são estruturas tabulares onde seus elementos possuem endereço fixo. São amplamente utilizadas pelos computadores no processamento de informações e armazenamento de dados.

A tarefa em questão traz operações com matrizes. É possível observar as operações de diferença e produto. Vamos aos itens:

A) AB - BA

O primeiro item traz a diferença entre o produto AB e o produto BA. Cabe dizer que o produto de matrizes, diferente da aritmética dos reais, não é comutativa (AB ≠ BA). Lembre-se que para fazer o produto multiplicamos cada linha da matriz por cada coluna.

|2  0|    .    |0  4 |    =     |2.0+0.2     2.4+0.(-8)|    =    |  0     8  |

|6  7|         |2  -8|           |6.0+7.2      6.4+7.(-8)|          | 14  -32 |

|0  4 |   .     |2  0|    =     |0.2+4.6            0.0+4.7 |        =    |  24     28  |

|2  -8|         |6  7|           |2.2+(-8).6      -2.0+7.(-8)|              | -44    -56 |

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B) 2C - D

Neste item vemos a diferença entre o dobro da matriz C e a matriz D. Contudo, a diferença de matrizes só existe para matrizes de mesmo tamanho (mesmo número de linhas e colunas). Lembre-se também que o produto de um escalar por uma matriz é feito elemento a elemento.

2C = 2 . | -6      9      -7|   =   | -12      18      -14|

             |  7      -3      -2|       |  14      -6       -4|

Como 2C e D não tem o mesmo tamanho (2C é do tipo 2 x 3 e D do tipo 3 x 3), a diferença 2C - D não pode ser realizada.

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C) D^2 - DE

Com o último item temos a diferença entre o quadrado da matriz D e o produto DE. Vamos fazer cada uma separadamente:

D^2 = |-6   4  0|  .    |-6   4  0|   =      

          |1     1   4|       |1     1   4|              

          |-6   0  6|       |-6   0  6|        

D^2 =  |(-6)²+4.1+0.(-6)     (-6).4+4.1+0.0       (-6).0+4.4+0.6|  

          |1.(-6)+1.1+4.(-6)     1.4+1.1+4.0              1.0+4.1+4.6     |  

          |(-6)²+0.1+6.(-6)     (-6).4+0.1+0.6       (-6).0+4.0+6.(6)|

D^2 = | 40   -20   16  |

          |-29     5    28 |

          | 0     -24    36 |

DE =   |-6   4  0|  .    |6   9  -9|   =      

          |1     1   4|       |-1   0   -4|              

          |-6   0  6|       |-6   0  -1|

DE  =  |(-6).(6)+4.(-1)+0.(-6)     (-6).9+4.0+0.0       (-6).(-9)+4.(-4)+0.(-1)|  

          |1.6+1.(-1)+4.(-6)            1.9+1.0+4.0              1.(-9)+(-4).1+4.(-1)   |  

          |(-6).6+0.(-1)+6.(-6)       (-6).9+0.0+0.6       (-6).(-9)+(-4).0+6.(-1)|

DE = | -40   -54   38  |

          |-19      9      -17 |

          | -72     -54    48 |

Fazendo a diferença:

D^2 - DE =  | 80       34     -22  |

                   |-10      -4      45 |

                   | 72      30    -12 |

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