Question

Se f(x) = x² + 10sin x, use o teorema do valor intermediário para mostrar que deve existir um numero real c tal que f(c)=1000.

Answer 1

Olá.

f(x) é uma combinação linear de um polinômio de grau 2 e de uma função seno, que são ambas contínuas. Logo, f(x) também será contínua.

O TVI afirma que se f(a) = b e f(d) = e, a < d, e f é contínua, então f assumirá todos os valores entre b e e (pode até assumir valores maiores ou menores, mas é garantido que assumirá cada um dos valores intermediários ao menos uma vez).

Façamos a = 30.

f(a) = f(30) = 30² + 10 • sen (30) ≤ 910

Agora d = 50

f(d) = f(50) = 50² + 50 • sen (50) ≥ 2450

Então com certeza f assumirá todos os valores entre f(a) e f(d), e temos que f(a) < 1000 < f(d)

Portanto, pelo TVI, existirá c tal que f(c) = 1000 e 30 < c < 50

(Veja, poderia até reduzir para c entre 30 e 40, mas queríamos apenas provar a existência. Foi provada)