Question

Se f(x)=x√2-x², encontre f'(x)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luuhlu, que a resolução é simples. Só é um pouquinho trabalhosa.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar a derivada, pela regra de cadeia, da seguinte função:

f(x) = x√(2-x²) ------ note que √(2-x²) é a mesma coisa que: (2-x²)¹/². Assim, ficaremos com:

f(x) = x*(2-x²)¹/².

ii) Agora vamos aplicar a regra de cadeia.

Note que quando se tem: f(x) = u*v, temos: f'(x) = u'.v + u.v'
No caso da sua questão temos que u = x; e v = (2-x²)¹/².
Assim, teremos:

f'(x) = 1.(2-x²)¹/² + x*(1/2)*(2-x²)⁻¹/²*(-2x) --- ou apenas, passando o "-2x" para antes do "x":

f'(x) = (2-x²)¹/² + (-2x)*x*(1/2)*(2-x²)⁻¹/² ----- desenvolvendo, teremos;
f'(x) = (2-x²)¹/² - (2x²/2)*(2-x²)⁻¹/² ---- ou, o que é a mesma coisa:
f'(x) = (2-x²)¹/² - x²/(2-x²)¹/² ---- transformando (2-x²) em √(2-x²), temos:
f'(x) = √(2-x²) - x²/√(2-x²) ----- mmc = √(2-x²). Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

f'(x) = [√(2-x²)*√(2-x²) - 1*x²]/√(2-x²) ---- desenvolvendo o numerador, ficaremos com:

f'(x) = [2-x² - x²]/√(2-x²) ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
f'(x) = (2 - 2x²)/√(2-x²) ---- note que, pra ficar mais apresentável, poderemos colocar um sinal de menos antes da expressão, ficando assim:

f'(x) = -(2x² - 2) / √(2-x²) ---- finalmente, colocando-se "2" em evidência no numerador, ficaremos com:

f'(x) = -2*(x²-1)/√(2-x²) <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.