Question

Se f(x) é continua em [a,b] então limite de f(x) quando x tende a existe?

Por exemplo:
f(x)= raiz de x cujo o dominio é [0,+infinito)
Limite de f(x) com x tendendo a 0 existe?

Answer 1

Olá.

Falarei do seu exemplo primeiro:

Temos uma relação importante:

f contínua em um ponto p de seu domínio ⇔ $\mathttt{\displaystyle\lim_{x\to p} f(x) = f(p)}$

Isso ocorre porque as definições de continuidade e de limite são similares. Veja que para ter limite, uma função não necessita ser contínua num ponto(exemplo: f(x) = (x² - 1) / (x-1)) , mas se for contínua, vai apresentar limite naquele ponto.

O que pode ter ocorrido é uma dúvida com respeito aos limites laterais, que diz que o limite num ponto só existe se os limites laterais existirem e forem iguais a L. Nesse caso, a resposta é simples: Os limites laterais podem existir num ponto p do domínio de f se existirem intervalos ]a, p[ e ]p, b[ que também estão contidos no domínio. Essas são as condições do Teorema sobre limite e limites laterais. Veja que a função que definiu é contínua em x ≥ 0, logo, para analisarmos o limite em zero não temos um intervalo à esquerda, logo, é definido que:

$\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to0^+}f(x)$

Isto é, a função é contínua e apresenta limite nos extremos.


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Interpretação do seu enunciado geral:Não necessariamente. Basta que haja uma descontinuidade de salto no ponto x = a, sendo a função definida num intervalo mais amplo, que a função não vai apresentar limite nesse ponto.


Bons estudos :)