Se f(n), n pertence N, é uma sequência definida por f(0)=1 , f(n+1)= f(n) + 3, calcule f(200).
Soluções para a tarefa
Resposta:
601
Explicação passo-a-passo:
f(0)=1
f(1) = f(0+1)=1+3=4
f(2)=f(1+1)=4+3=7
Trata-se de uma PA de razão 3, pois 7-4=3 e 4-1=3
Chamamos f(1) de primeiro termo dessa PA e calculemos f(200) que será .
Vamos lá.
Veja, Hilario, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se: se f(n), com "n" pertencente aos Naturais, uma sequência definida pela seguinte lei de formação:
f(0) = 1 . (I).
f(n+1) = f(n) + 3 . (II) .
ii) Dadas as informações acima, calcule f(200).
Vamos utilizar as informações dadas nas expressões (I) e (II) acima. E, para isso, vamos calcular f(1), f(2), f(3), etc, e ver como se comportam os valores obtidos. Então faremos isto:
ii.1) Fazendo n = 0 na expressão (II) acima [f(n+1) = f(n) + 3], teremos:
f(0+1) = f(0) + 3 ---- desenvolvendo, temos:
f(1) = f(0) + 3 ----- como já vimos que f(0) = 1, conforme a expressão (I), teremos:
f(1) = 1 + 3
f(1) = 4 <--- Este é o valor de f(1).
ii.2) Fazendo n = 1 na expressão (II) acima [f(n+1) = f(n) + 3] , teremos:
f(1+1) = f(1) + 3 ---- desenvolvendo, temos:
f(2) = f(1) + 3 ---- como já vimos que f(1) = 4, teremos:
f(2) = 4 + 3
f(2) = 7 <---- Este é o valor de f(2).
ii.3) Fazendo n = 2 na expressão (II) acima [f(n+1) = f(n) + 3], teremos:
f(2+1) = f(2) + 3 ------ desenvolvendo, temos:
f(3) = f(2) + 3 ---- como já vimos que f(2) = 7, teremos:
f(3) = 7 + 3
f(3) = 10 <---- Este é o valor de f(3).
iii) Assim, como você viu, já temos as seguintes informações que vão nos ajudar a calcular o valor de f(200):
f(1) = 4; f(2) = 7; f(3) = 10.
Note que os valores encontrados forma uma PA (Progressão Aritmética) com a seguinte conformação:
(4; 7; 10; ......) <---- note que se trata de uma PA cujo primeiro termo (a₁) é igual a "4" e cuja razão (r) é igual a "3", pois os termos da PA obedecem à lei de formação de que cada termo consequente é "3" unidades maior que o seu respectivo antecedente. Assim, para encontrar o valor do 200º termo (a₂₀₀) aplicaremos a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:
a ̪ = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "a ̪ " por "a₂₀₀", pois estamos querendo o valor desse termo; por sua vez, substituiremos "a₁" por "4", que é o valor do primeiro termo; por seu turno, substituiremos "n" por "200", pois estamos trabalhando com o 200º termo; e finalmente, substituiremos "n" por "3", que é o valor da razão da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a₂₀₀ = 4 + (200-1)*3 ----- desenvolvendo, temos:
a₂₀₀ = 4 + (199)*3 ----- como "199(3 = 597", teremos:
a₂₀₀ = 4 + 597 ----- e como "4+597 = 601", teremos:
a₂₀₀ = 601 <---- Esta é a resposta. Ou seja, este será o valor do 200º termo da sequência da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.