Matemática, perguntado por Haller, 1 ano atrás

Se f(f(f(...(f(x)))...)) = x, então f(x) = x. Prove

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
2
Dá pra provar por indução.

Seja n o número de aninhamentos de funções (composição de funções) de f com f. Por exemplo:

\bullet\;\; para n=0

não há nenhuma composição de f com f, e então, temos

f\left(x \right )=x


\bullet\;\; para n=1

há uma composição de f com f, ou seja

f\left(f\left(x \right ) \right )=f\left(x \right )=x


Supondo, por hipótese, que para
n=k composições de funções f com f, temos

f\left( \right.\underbrace{f\left(f\left(\ldots f\left(x \right )\ldots \right )}_{k\text{ composi\c{c}\~{o}es}}\left.\right)=x


Queremos provar que para 
n=k+1 composições de f com f teremos

f\left( \right.\underbrace{f\left(f\left(\ldots f\left(x \right )\ldots \right )}_{k+1\text{ composi\c{c}\~{o}es}}\left.\right)=x


\bullet\;\; para n=k+1

f\left( \right.\underbrace{f\left(f\left(\ldots f\left(x \right )\ldots \right )}_{k+1\text{ composi\c{c}\~{o}es}}\left.\right)=f\left(\right.f\left(\right.\underbrace{f\left(\ldots f\left(x \right )\ldots \right )}_{k\text{ composi\c{c}\~{o}es}} \left.\right ) \left.\right )\\ \\ f\left( \right.\underbrace{f\left(f\left(\ldots f\left(x \right )\ldots \right )}_{k+1\text{ composi\c{c}\~{o}es}}\left.\right)=f\left(f\left(x \right ) \right )=f\left(x \right )=x


Assim, fica provado por indução que

f\left(f\left(\ldots f\left(x \right )\ldots \right ) \right )=x


Haller: Genial, você me salvou. Odeio dormir com dúvida Hahaha! Parabéns!
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