Se E é uma matriz 3x3 tal que = matriz nula,
mostre que = . ( denota a matriz identidade 3x3).
adjemir:
Você já informou que existe uma matriz E de ordem "3" e que o I₃ é a matriz identidade de ordem "3". Também já informou que E₃ é uma matriz nula. E o que significa o E₂ ?
Soluções para a tarefa
Respondido por
2
Todas as matrizes citadas no enunciado são da mesma ordem (3x3). Assim, podemos esse dado na hora de escrevermos as equações.
É dado que , onde é a matriz nula. Pede-se para provar que:
Pela igualdade dada, podemos de antemão assumir que a matriz é inversível, já que a inversa dessa matriz é um dos termos presentes.
Vamos manipular a igualdade que queremos provar. Para isso, vamos utilizar o fato de que, se é a inversa da matriz , podemos dizer que . Isto é, o produto de uma matriz com a sua inversa resulta na matriz identidade.
Assim, como é difícil manipular o termo , podemos eliminá-lo multiplicando a equação dos dois lados por . Assim, multiplicando os dois lados da igualdade por essa matriz (à esquerda):
Como, para , temos:
O que é verdade pelo dado no enunciado. Assim, terminamos a demonstração.
------------------------//-----------------------//-------------------
Note que apenas chegar a uma igualdade verdadeira não seria suficiente para provarmos a expressão que manipulamos no início. O que de fato faz com que o procedimento que fizemos seja válido é que fizemos apenas passos "se e somente se", isto é, que valem tanto na ida, quanto na volta.
Isso significa que se tomarmos um caminho inverso ao que fizemos (isto é, partirmos de ), chegaremos à equação que queremos provar, apesar de parecer artificial. Veja:
Sabemos que:
Vamos manipular essa equação fazendo exatamente o inverso do que fizemos antes:
Multiplicando à esquerda dos dois lados pela inversa de E²-E+I:
Como queríamos demonstrar.
É dado que , onde é a matriz nula. Pede-se para provar que:
Pela igualdade dada, podemos de antemão assumir que a matriz é inversível, já que a inversa dessa matriz é um dos termos presentes.
Vamos manipular a igualdade que queremos provar. Para isso, vamos utilizar o fato de que, se é a inversa da matriz , podemos dizer que . Isto é, o produto de uma matriz com a sua inversa resulta na matriz identidade.
Assim, como é difícil manipular o termo , podemos eliminá-lo multiplicando a equação dos dois lados por . Assim, multiplicando os dois lados da igualdade por essa matriz (à esquerda):
Como, para , temos:
O que é verdade pelo dado no enunciado. Assim, terminamos a demonstração.
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Note que apenas chegar a uma igualdade verdadeira não seria suficiente para provarmos a expressão que manipulamos no início. O que de fato faz com que o procedimento que fizemos seja válido é que fizemos apenas passos "se e somente se", isto é, que valem tanto na ida, quanto na volta.
Isso significa que se tomarmos um caminho inverso ao que fizemos (isto é, partirmos de ), chegaremos à equação que queremos provar, apesar de parecer artificial. Veja:
Sabemos que:
Vamos manipular essa equação fazendo exatamente o inverso do que fizemos antes:
Multiplicando à esquerda dos dois lados pela inversa de E²-E+I:
Como queríamos demonstrar.
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