Matemática, perguntado por Dani76561, 1 ano atrás

Se E é uma matriz 3x3 tal que  E^{3} = matriz nula,
mostre que   (I_{3} -E + E_{2} ) ^{-1} =   I_{3}  + E. (   I_{3} denota a matriz identidade 3x3).


adjemir: Você já informou que existe uma matriz E de ordem "3" e que o I₃ é a matriz identidade de ordem "3". Também já informou que E₃ é uma matriz nula. E o que significa o E₂ ?
Dani76561: E2?
adjemir: Sim, pois você colocou:..... mostre que (I₃ - E + E₂)⁻¹ = I₃ + E . Outra coisa, você também colocou que E³ = matriz nula. E o que será esse "E³"? Aguardamos.
Dani76561: Desculpa, é E elevado a 2
adjemir: E o E³ será a matriz E elevada a 3? Se for então uma matriz quadrada de ordem "3" elevada ao cubo dá um trabalho danado. Veja se é isso mesmo, ok?
Dani76561: simmm
Dani76561: é isso mesmo

Soluções para a tarefa

Respondido por ArthurPDC
2
Todas as matrizes citadas no enunciado são da mesma ordem (3x3). Assim, podemos esse dado na hora de escrevermos as equações.

É dado que E^3 = O, onde O é a matriz nula. Pede-se para provar que:

(I-E+E^2)^{-1} = I+E

Pela igualdade dada, podemos de antemão assumir que a matriz I-E+E^2 é inversível, já que a inversa dessa matriz é um dos termos presentes.

Vamos manipular a igualdade que queremos provar. Para isso, vamos utilizar o fato de que, se A^{-1} é a inversa da matriz A, podemos dizer que AA^{-1} = I. Isto é, o produto de uma matriz com a sua inversa resulta na matriz identidade. 

Assim, como é difícil manipular o termo (I-E+E^2)^{-1}, podemos eliminá-lo multiplicando a equação dos dois lados por (I-E+E^2). Assim, multiplicando os dois lados da igualdade por essa matriz (à esquerda):

(I-E+E^2)^{-1} = I+E\\\\\
\underbrace{(I-E+E^2)(I-E+E^2)^{-1}}_{I} = (I-E+E^2)(I+E)\\\\
I = (I-E+E^2)(I+E)\\\\
I = (I^2-EI+E^2I)+(IE-E^2+E^3)

Como, para AI = IA = A, temos:

I = (I^2-EI+E^2I)+(IE-E^2+E^3)\\\\
I = I - E + E^2 + E - E^2 + E^3\\\\\
I = I + E^3\\\\\
O = E^3

O que é verdade pelo dado no enunciado. Assim, terminamos a demonstração.

------------------------//-----------------------//-------------------

Note que apenas chegar a uma igualdade verdadeira não seria suficiente para provarmos a expressão que manipulamos no início. O que de fato faz com que o procedimento que fizemos seja válido é que fizemos apenas passos "se e somente se", isto é, que valem tanto na ida, quanto na volta.

Isso significa que se tomarmos um caminho inverso ao que fizemos (isto é, partirmos de E^3 = O), chegaremos à equação que queremos provar, apesar de parecer artificial. Veja:

Sabemos que:

E^3 = O

Vamos manipular essa equação fazendo exatamente o inverso do que fizemos antes:

E^3 = O\\\\
E^3 +(E^2-E^2)+(E-E)+(I-I) = O\\\\ (E^2-E+I)+(E^3 - E^2+ E)= I\\\\
(E^2-E+I)+(E^2-E+I)E = I\\\\
(E^2-E+I)(I+E) = I

Multiplicando à esquerda dos dois lados pela inversa de E²-E+I:

(E^2-E+I)(I+E) = I\\\\
(E^2-E+I)^{-1}(E^2-E+I)(I+E) = I(E^2-E+I)^{-1}\\\\
I(I+E) = (E^2-E+I)^{-1}\\\\
\boxed{(I+E) = (E^2-E+I)^{-1}}~~~\blacksquare

Como queríamos demonstrar.
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