Se dois planos se interceptam, é preciso um ponto e um vetor diretor para definir a reta resultante. Analise as afirmações a seguir e a relação entre elas. I - Um possível vetor diretor de uma reta é v with rightwards arrow on top equals negative 2 comma negative 1 comma 0. PORQUE II - Essa reta é a interseção entre os planos pi subscript 1 colon 2 x minus 4 y plus 6 z minus 10 equals 0 pi subscript 2 colon negative 3 x plus 6 y plus 6 z minus 2 equals 0. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta. Selecione uma alternativa: a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. e) As asserções I e II são proposições falsas.
Soluções para a tarefa
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é justificativa da I.
Completando a questão:
Se dois planos se interceptam, é preciso um ponto e um vetor diretor para definir a reta resultante. Analise as afirmações a seguir e a relação entre elas.
I - Um possível vetor diretor de uma reta é v = (-2,-1,0).
PORQUE
II - Essa reta é a interseção entre os planos
π₁: 2x - 4y + 6z - 10 = 0
π₂: -3x + 6y + 6z - 2 = 0.
Solução
Da equação 2x - 4y + 6z = 10, vamos dividi-la por 2. Assim, obtemos x - 2y + 3z = 5, que podemos dizer que x = 2y - 3z + 5.
Substituindo o valor de x na segunda equação, obtemos:
-3(2y - 3z + 5) + 6y + 6z - 2 = 0
-6y + 9z - 15 + 6y + 6z - 2 = 0
15z - 17 = 0
15z = 17
z = 17/15.
Assim, o valor de x é:
x = 2y - 3.17/15 + 5
x = 2y - 17/5 + 5
x = 2y + 8/5.
Considerando que y = t, temos que as equações paramétricas da reta que é a interseção entre os dois planos são:
{x = 8/5 + 2t
{y = t
{z = 17/15.
Veja que o vetor direção dessa reta que obtemos, (2,1,0), é múltiplo do vetor v = (-2,-1,0).
Portanto, as duas asserções são verdadeiras. Entretanto, não necessariamente o vetor direção da reta é esse por causa da interseção dos dois planos dados.
Resposta:
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
Explicação passo a passo:
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