Question

se cos (2x) = 1/2, entao o valor de tan (x) + sec (x) é?

Answer 1

Resolvendo a equação trigonométrica dada:

$\cos(2x)=\frac{1}{2}$


Aplicando a identidade do cosseno do arco duplo:

$\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1$


temos

$2\cos^{2}(x)-1=\frac{1}{2}\\ \\ 2\cos^{2}(x)=\frac{1}{2}+1\\ \\ 2\cos^{2}(x)=\frac{1+2}{2}\\ \\ 2\cos^{2}(x)=\frac{3}{2}\\ \\ \cos^{2}(x)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\\ \\ \cos^{2}(x)=\frac{3}{4}\\ \\ \cos (x)=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}\\ \\ \cos (x)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ x=\pm\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\text{ ou }\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi$

onde $k$ é um número inteiro.


Então, temos quatro possibilidades para a solução:


$\bullet\;\;$ Para $x=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi,$ temos

$\tan(x)+\sec(x)=\tan(\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi)+\sec(\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\tan(x)+\sec(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $x=-\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi,$ temos

$\tan(x)+\sec(x)=\tan(-\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi)+\sec(-\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\tan(x)+\sec(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $x=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi,$ temos

$\tan(x)+\sec(x)=\tan(\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi)+\sec(\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\tan(x)+\sec(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $x=-\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi,$ temos

$\tan(x)+\sec(x)=\tan(-\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi)+\sec(-\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\tan(x)+\sec(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}}$