Question

Determine a área da região delimitada pela curva de equação y=√(x²-9)/x², pelo eixo das abcissas e pela reta x=5.

Answer 1

$\bullet\;\;$ Encontrar a interseção do gráfico da curva

$y=\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}$

com o eixo das abscissas $(y=0):$


$\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}=0\\ \\ \sqrt{x^{2}-9}=0\\ \\ x^{2}-9=0\\ \\ x^{2}=9\\ \\ x=\pm\sqrt{9}\\ \\ x=\pm 3\\ \\ x=-3\;\;\text{ ou }\;\;x=3$


Como queremos integrar até a reta vertical $x=5,$ então o nosso limite de integração é

$3\leq x \leq5$


$\bullet\;\;$ A área da região indicada é a área sob a curva

y=\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}

no intervalo $3\leq x \leq5.$


Esta área é dada por

$A=\int_{3}^{5}{\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}\,dx}$


Fazendo a substituição trigonométrica

$x=3\sec\theta;\,\;\;\;\theta \in \left[0;\,\pi/2\fra \right )\cup \left(\pi/2;\,\pi\right]\\ \\ \left\{\begin{array}{l} dx=3\sec\theta\mathrm{\,tg\,}\theta\,d\theta\\ \theta=\mathrm{arcsec\,}(\frac{x}{3}) \end{array} \right.\\ \\ \\ \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{(3\sec \theta)^{2}-9}\\ \\ \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{9\sec^{2}\theta-9}\\ \\ \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{9\,(\sec^{2}\theta-1)}\\ \\ \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{9\mathrm{\,tg^{2}\,}\theta}\\ \\ \sqrt{x^{2}-9}=3\left|\mathrm{tg\,}\theta\right|$


temos que

quando $x=3,$ $\theta=\mathrm{arcsec\,}(1)=0$

quando $x=5,$ $\theta=\mathrm{arcsec\,}(\frac{5}{3}).$


Para os valores de $\theta$ dentro do intervalo de integração acima, temos que

$\mathrm{tg\,}\theta\geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;\left|\mathrm{tg\,}\theta\right|=\mathrm{tg\,}\theta\\ \\ \Rightarrow\;\;\sqrt{x^{2}-9}=3\mathrm{\,tg\,}\theta$


Fazendo a substiuição na integral, temos

$A=\int_{0}^{\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3})}{\dfrac{3\mathrm{\,tg\,}\theta}{9\sec^{2}\theta}\cdot 3\sec\theta\mathrm{\,tg\,}\theta\,d\theta}\\ \\ \\ A=\int_{0}^{\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3})}{\dfrac{\mathrm{tg^{2}\,}\theta}{\sec\theta}\,d\theta}\\ \\ \\ A=\int_{0}^{\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3})}{\dfrac{sec^{2}\theta-1}{\sec\theta}\,d\theta}\\ \\ \\ A=\int_{0}^{\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3})}{(\sec\theta-\cos \theta)\,d\theta}\\ \\ \\ A=\left[\mathrm{\ell n}\left|\mathrm{tg\,}\theta+\sec \theta \right|-\mathrm{sen\,}\theta \right ]_{0}^{\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3})}$


$A=\left[\mathrm{\ell n}\left|\mathrm{tg\,}\theta+\sec \theta \right|-\mathrm{sen\,}\theta \right ]_{0}^{\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3})}\\ \\ \\ \begin{array}{cl} A=&\left[\mathrm{\ell n}\left|\mathrm{tg}\left(\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3}) \right )+\sec \left(\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3}) \right ) \right|-\mathrm{sen}\left(\mathrm{arcsec}(\frac{5}{3}) \right ) \right ]\\ \\&- \left[\mathrm{\ell n}\left|\mathrm{tg\,}0+\sec 0 \right|-\mathrm{sen\,}0 \right ] \end{array}\\ \\ \\ \begin{array}{cl} A=&\left[\mathrm{\ell n}\left|\frac{4}{3}+\frac{5}{3} \right|-\frac{3}{5} \right ]\\ \\&- \left[\mathrm{\ell n}\left|0+1 \right|-\mathrm{sen\,}0 \right ] \end{array}\\ \\ \\ A=\left[\mathrm{\ell n}\left|\frac{9}{3} \right|-\frac{3}{5} \right ]-0\\ \\ A=\mathrm{\ell n\,}3-\frac{3}{5}\text{ u.a.}$