Question

Se considerarmos Qt=100∙ 0,84t e o valor de Q(t) igual a 16, qual seria o valor de t+7? Dados log 0,84=-0,076 ; log 0,16= -0,79 ; log 4 =0,6 ; log 16 =1,2 



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Answer 1

$Q(t) = 100 \cdot 0,84^{t}$

Quando $Q(t) = 16$:

$16 = 100 \cdot 0,84^{t}$

Dividindo por 100 dos dois lados da equação:

$\dfrac{16}{100} = 0,84^{t}$

$0,16 = 0,84^t$

Agora, para remover o expoente t, aplicamos logaritmo na base 0,84 dos dois lados da equação, já que:

$\log_{a}[a]^c = c \cdot \log_{a}[a] = c \cdot 1 = c$

Ficará:

$\log_{0,84}[0,16] = \log_{0,84}[0,84]^t$

$\log_{0,84}[0,16] = t \cdot \log_{0,84}[0,84]$

$\log_{0,84}[0,16] = t \cdot 1$

$t = \log_{0,84}[0,16]$

Perceba que todos os logaritmos dados no enunciado estão na base 10. Não podemos trabalhar com base 0,84. Utilizando a propriedade da mudança de base em logaritmos:

$\log_{a}[b] = \dfrac{\log_{c}[b]}{\log_{c}[a]}$

Onde a = base atual, b = logaritmando atual, c = base nova. Fazendo a conversão para base 10:

$\log_{0,84}[0,16] = \dfrac{\log_{10}[0,16]}{\log_{10}[0,84]}$

O enunciado te dá o $\log_{10}[16]$ e $\log_{10}[0,84]$. Apenas note que:

$0,16 = \dfrac{16}{100} = \dfrac{16}{10^2} = 16 \cdot 10^{-2}$

Fazendo esta substituição, teremos:

$t = \dfrac{\log_{10}[16 \cdot 10^{-2}]}{\log_{10}[0,84]}$

Agora, utilizando a propriedade:

$\log[a \cdot b] = \log[a] + \log[b]$

Teremos:

$t = \dfrac{1}{\log_{10}[0,84]} \cdot (\log_{10}[16] + \log_{10}[10]^{-2})$

Repetindo a primeira propriedade que mostrei:

$t = \dfrac{1}{\log_{10}[0,84]} \cdot (\log_{10}[16] -2 \cdot \log_{10}[10])$

$t = \dfrac{1}{\log_{10}[0,84]} \cdot (\log_{10}[16] -2 \cdot 1)$

$t = \dfrac{1}{\log_{10}[0,84]} \cdot (\log_{10}[16] -2)$

Agora, substituindo: $\log_{10}[0,84] = -0,076$ e $\log_{10}[16] = 1,2$, teremos:

$t = \dfrac{1}{-0,076} \cdot (1,2 -2)$

$t = \dfrac{0,8}{0,076}$

Aproximando a divisão:

$t \approx 10,526$

Assim:

$\boxed{t+7 = 10,526 + 7 = 17,526}$